Lineare Operatoren

13.11.2016, 17:04	Adjungi	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Operatoren Hi, ich habe die Aufgabe .. Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ein linearer Operator und $\begin{eqnarray} A^\dagger \end{eqnarray}$ sein adjungierter Operator. Zeige: a) $\begin{eqnarray} A^\dagger \end{eqnarray}$ ist ebenfalls linear. b) $\begin{eqnarray} (A^\dagger)^{\dagger}=A \end{eqnarray}$ Zu der a) fehlt mir noch der Ansatz. Bei der b) weiß ich da $\begin{eqnarray} A^\dagger=(A^T)^ \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} (A^{\dagger})^{\dagger}=((A^)^T)^{\dagger}=((A^T)^)^{\dagger}=(((A^T)^)^T)^=(((A^T)^T)^)^=((A)^)^=A \end{eqnarray*}$ Reicht das schon? Wie mache ich das bei der a)? Danke sehr.
13.11.2016, 18:38	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Adjungi, Zu b) : Für allle $\begin{eqnarray} x,y \in H \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \langle x, (A^{\dagger})^{\dagger} (y) \rangle = \langle (A^{\dagger}(x), y \rangle = \overline{ \langle y, A^{\dagger} (x) \rangle } = \overline{ \langle A(y), x \rangle } = \langle x, A(y) \rangle \end{eqnarray}$ Bei Teil a) musst du für den Beweis der Linearität die Linearität des Skalarproduktes nutzen. Seien $\begin{eqnarray} A_1 , A_2 \end{eqnarray}$ lineare Operatoren, dann erhält man: $\begin{eqnarray} \langle (A_1 + A_2)(x), y \rangle = .... \end{eqnarray}$ . Den Rest überlasse ich dir! Viele Grüße Widderchen
13.11.2016, 20:15	Adjungi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Widderchen, warum muss man die Eigenschaften denn über das Skalarprodukt zeigen und warum geht es nicht über meinen Weg in der b) ... ? Mit $\begin{eqnarray} x,y\in H \end{eqnarray}$ meinst du das $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ aus dem Hilbertraum stammen oder? Danke sehr

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