Lineare Unabhängigkeit Vektoren

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Cassia Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit Vektoren
Meine Frage:
Hallo miteinander. Ich habe bei folgender Aufgabe überhaupt keinen Plan:

Die Vektoren seien linear unabhängig. Sei t eine reelle Zahl. Bestimmen Sie t, sodass die Vektoren auch linear unabhängig werden.

Mehr habe ich nicht gegeben.

Meine Ideen:
Ich hatte in meiner Schullaufbahn nie Vektorrechung, weshalb mir diese Aufgabe sehr schwer fällt. Ich bin total überfragt und müde von der Internetrecherche.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Danke schonmal.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit Vektoren
Damit die genannten Vektoren linear unabhängig sind, darf die Linearkombination nur die triviale Lösung haben.

Extrahiere daraus 3 Gleichungen als Bedingungen an die Linearfaktoren.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zeilen- oder Spaltenvektoren der Matrix sollen linear unabhängig sein. Mit dem Gauß-Algorithmus kommt man hier (wie bei vielen Problemchen der linearen Algebra) schnell zum Ziel.
Cassia Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort
@klarsoweit:
Aber was meinst du mit trivialer Lösung? = 0 ?

@Elvis:
Ist diese Matrix nur ein Beispiel oder kann man das aus der Aufgabe echt ablesen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cassia
@klarsoweit:
Aber was meinst du mit trivialer Lösung? = 0 ?

Genau. Das ist doch das Kennzeichen für lineare Unabhängigkeit, daß sich der Nullvektor nur mit den Linearfaktoren = Null darstellen läßt.

Zitat:
Original von Cassia
Ist diese Matrix nur ein Beispiel oder kann man das aus der Aufgabe echt ablesen?

Das kann man prinzipiell aus der Aufgabe ablesen, wenn du mal aus der von mir genannten Vektorgleichung die Linearfaktoren der Vektoren a, b und c betrachtest.
Cassia Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Rechnung:



II -(2*I):

III -(-4)*I:

III -(-2)*I:

Dann folgt daraus:
I x1 - x3 = 0
II -x2 + 2*x3 = 0
III t*x3 = 0

Aus III folgt x3 = 0
Aus II folgt x2 = 0
Aus I folgt x1 = 0

Somit sind meine 3 alle gleich 0.
Aber was nun mit t, da ich dies ja bestimmen sollte?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cassia
Aus III folgt x3 = 0

Das ist ein bißchen voreilig. Nur wenn t ungleich Null ist, muß x3 = 0 sein. Aber bei t = 0 sieht die Welt anders aus. Augenzwinkern
Cassia Auf diesen Beitrag antworten »

Also hätte ich dementsprechend 2 Fälle. 1. t ungleich 0 mit x3 = 0. 2. t =0 mit x3 > 0.
Aber da ich t doch so bestimmen soll, so dass die vektoren linear unabhängig werden muss t doch ungleich 0 sein und x3 = 0? Oder steh ich grade auf dem schlauch?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Gleichungssystem liegt nicht vor, es geht nicht um x1,x2,x3. Richtig ist die Fallunterscheidung, für t=0 ist die letzte Zeile der Nullvektor, also die Zeilenvektoren linear abhängig, sonst linear unabhängig.
Cassia Auf diesen Beitrag antworten »

Also reicht es einfach nur zu sagen, dass die Vektoren linear unabhängig werden wenn t ungleich 0 ist. Ansonsten wäre die letzte Zeile ein Nullvektor & die Vektoren werden linear abhängig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vektoren werden nicht, Vektoren sind. Vektoren werden nicht linear unabhängig oder linear abhängig, Vektoren sind entweder linear unabhängig oder linear abhängig. Sonst : ja.

Man sieht ja (hinterher, also nach dieser Rechnung) auch sofort : . Bei genauem Hinsehen hätte man es vorher schon sehen können, aber hinterher ist man immer klüger.
Cassia Auf diesen Beitrag antworten »

okay, dann sind statt werden. Ah ok. dass ergibt Sinn. Aber wäre die Aufgabe damit jetzt beendet?
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