Erläuterungen metrisch skaliertes Merkmal

14.11.2016, 12:41

Dasisthierdiefrage

Erläuterungen metrisch skaliertes Merkmal

Hallo,

kann leider momentan krankheitsbedingt nicht in die Uni und versuche einige Sachen so nachzubearbeiten. Dabei bin ich im Skript auf zwei leider nicht weiter erläuterte Sachen gestoßen, die sich mir nicht gleich erschließen. Für eine Erklärung wäre ich dankbar.

1) Warum gilt dieser Zusammenhang:

Sei X ein mentrisch skaliertes Merkmal mit $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \overline{a \cdot X + b} = a \cdot \overline{X} + b \end{eqnarray*}$

Also ich realisiere, dass es hier wohl um Urlisten geht die betrachtet werden, aber was hat der Strich über dme ganzen hier für eine Bedeutung bzw wo ist der Unterscheid bei den beiden

2)Warum gilt diese Eigenschaft der empirischen Standardabweichung:

Sei X ein metrisch skaliertes Merkmal und $\begin{eqnarray*} s_{X} \end{eqnarray*}$ die empirische Standardabweichung des Merkmals X;. Sei zudem $\begin{eqnarray*} Y = a \cdot X + b \end{eqnarray*}$ ein metrisch skaliertes Merkmal mit der empirischen Standardabweichung $\begin{eqnarray*} s_{Y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} s_Y = a \cdot s_X \end{eqnarray*}$

Zu dieser Aussage existiert wohl auch ein Beweis. Wo netter weise natürlich im Skript steht. Als Übung. Aber da ich mir nicht wirklich sicher bin um was es hier genau geht ist der jetzt nicht so die tolle Übung

Schonmal vielen Dank

14.11.2016, 13:26

HAL 9000

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Mittelwert und empirische Standardabweichung für eine Stichprobe $\begin{align*} X = (X_1,\ldots,X_n) \end{align*}$ sind definiert als

$\begin{align*} \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k \end{align*}$ und $\begin{align*} s_X^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^n \left(X_k-\bar{X}\right)^2\qquad (*) \end{align*}$ .

$\begin{align*} Y=a\cdot X+b \end{align*}$ ist so zu lesen, dass aus der $\begin{align*} X \end{align*}$ -Stichprobe eine neue Stichprobe $\begin{align*} Y = (Y_1,\ldots,Y_n) \end{align*}$ konstruiert wird gemäß $\begin{align*} Y_k=a\cdot X_k+b \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k=1,2,\ldots,n \end{align*}$ , sozusagen eine Vektoroperation. Und für die sollst du nun nachweisen, dass

$\begin{align*} \bar{Y} = a\cdot \bar{X} + b\qquad (1) \end{align*}$

$\begin{align*} s_Y = a\cdot s_X\qquad (2) \end{align*}$

gilt, indem du schlicht die $\begin{align*} Y \end{align*}$ -Definition in die beiden Formeln (*) einsetzt und vereinfachst. Übrigens gilt (2) nur für $\begin{align*} a\geq 0 \end{align*}$ , für beliebige $\begin{align*} a\in\mathbb{R} \end{align*}$ muss es eigentlich

$\begin{align*} s_Y = |a|\cdot s_X\qquad (2') \end{align*}$

lauten (Schlamperei in der Aufgabenstellung).

14.11.2016, 13:50

Dasisthierdiefrage

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Ok, danke schonmal für deine Erläuterung.

Das mit der Stichprobe bzw der Teilstichprobe hatte ich mir auch etwa schon so gedacht. Mein Verständnisproblem liegt etwas in der Notation bei der 1). Welche Bedeutung hat hier einmal der komplett durchgezogene Strich und einmal der nur über X stehende Strich. Das wird leider nirgends erläutert.

Und wenn ich nun damit arbeiten möchte heißt es, dass ich so wie ich dich jetzt verstanden habe dazu also [latex]a \cdot X + b [\latex] allgemein in die Definition des arithmetischen mittels einsetze und erhalte selbiges?

Und bei der 2) müsste ich [latex] a \cdot s_X [\latex] in die für die Standardabweichung einsetzen und umformen?

Sry hab das Konzept noch gänzlich noch nicht wirklich verstanden verwirrt

14.11.2016, 13:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dasisthierdiefrage
Welche Bedeutung hat hier einmal der komplett durchgezogene Strich und einmal der nur über X stehende Strich. Das wird leider nirgends erläutert.

Habe ich das nicht gerade geschrieben??? Erste Formel in (*).

------------------------------------------------------------

Ich fang mal an:

$\begin{align*} \bar{Y} \stackrel{Def MW}{=} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n Y_k \stackrel{Def Y}{=} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(a\cdot X_k+b\right) = \ldots \end{align*}$

Am Ende der Gleichungskette muss $\begin{align*} a\cdot \bar{X} + b \end{align*}$ stehen.

Ähnlich bei $\begin{align*} s_Y \end{align*}$ , wobei da das erste Ergebnis bereits einfließen kann, das beginnt ungefähr so

$\begin{align*} s_Y^2 \stackrel{Def Va}{=} \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n \left(Y_k-\bar{Y}\right)^2 \stackrel{Def Y}{=} \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n \left(a\cdot X_k+b-\bar{Y}\right)^2 \stackrel{Eig MW}{=} \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n \left(a\cdot X_k+b-\left(a\cdot \bar{X}+b\right)\right)^2 = \ldots \end{align*}$ .

14.11.2016, 17:54

Dasisthierdiefrage

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Ouch

Ok, danke, jetzt hat es Klick gemacht. Das war der berühmte Schlauch auf dem man steht xD

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