Bestimmte Integration der Norm

Sei $\begin{align*} I_N := \int\limits_{[0,1]^N} \|x\|^2 ~ \dd x \end{align*}$ der zu berechnende Integralwert. Einzeln aufgeschlüsselt ist das bei der euklidischen Norm $\begin{align*} \|x\|^2 = \sum_{k=1}^N x_k^2 \end{align*}$ dann

$\begin{align*} I_N = \int\limits_0^1 \ldots \int\limits_0^1 \sum_{k=1}^N x_k^2 ~ \dd x_1 ~ \ldots ~ \dd x_N = \sum_{k=1}^N \int\limits_0^1 \ldots \int\limits_0^1 x_k^2 ~ \dd x_1 ~ \ldots ~ \dd x_N \end{align*}$

Bei festem $\begin{align*} k \end{align*}$ ist der Integrand $\begin{align*} x_k^2 \end{align*}$ konstant bzgl. $\begin{align*} (N-1) \end{align*}$ der $\begin{align*} N \end{align*}$ Integrationen (alle außer $\begin{align*} x_k \end{align*}$ selbst), die entsprechenden Integrale sind dann jeweils Intervalllänge multipliziert mit dieser Konstanten. Hier nun ist diese Intervalllänge jeweils gleich 1, es ergibt sich

$\begin{align*} I_N = \sum_{k=1}^N 1^{N-1}\cdot \int\limits_0^1 x_k^2 ~ \dd x_k \end{align*}$ .

Den Rest wirst du sicher selbst ausrechnen können.

16.11.2016, 19:15

MathNoob28

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Danke aber warum ergibt sich 1^(N-1) ?

17.11.2016, 10:49

klarsoweit

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Die Antwort steht eigentlich hier:

Zitat:

Original von HAL 9000
Bei festem $\begin{align*} k \end{align*}$ ist der Integrand $\begin{align*} x_k^2 \end{align*}$ konstant bzgl. $\begin{align*} (N-1) \end{align*}$ der $\begin{align*} N \end{align*}$ Integrationen (alle außer $\begin{align*} x_k \end{align*}$ selbst), die entsprechenden Integrale sind dann jeweils Intervalllänge multipliziert mit dieser Konstanten. Hier nun ist diese Intervalllänge jeweils gleich 1

Du kannst ja mal das Integral $\begin{align*} \int\limits_0^b x_k^2 ~ \dd x_1 \end{align*}$ ausrechnen.

17.11.2016, 11:05

MathNoob28

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Das wäre ja 1/3 x_k ^3 einfach

17.11.2016, 12:39

klarsoweit

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Ja, wenn nach x_k integriert wird. In dem Integral, das ich geschrieben hatte, wird aber nach x_1 integriert. Da sieht die Sache anders aus.

17.11.2016, 13:24

MathNoob28

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Das wäre doch dann einfach 1.

17.11.2016, 13:37

MathNoob28

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Wenn ich es richtig verstanden habe muss doch am Ende 1/3 *N rauskommen?

17.11.2016, 13:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von MathNoob28
Das wäre doch dann einfach 1.

Nein, was das Integral $\begin{align*} \int\limits_0^b x_k^2 ~ \dd x_1 \end{align*}$ betrifft.

Zitat:

Original von MathNoob28
Wenn ich es richtig verstanden habe muss doch am Ende 1/3 *N rauskommen?

Ja, was das komplette Integral betrifft.

17.11.2016, 13:52

MathNoob28

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[quote]Original von klarsoweit

Nein, was das Integral $\begin{align*} \int\limits_0^b x_k^2 ~ \dd x_1 \end{align*}$ betrifft.

Warum ist die obere Grenze b?

Das integral wäre dann einfach b x _k^2

17.11.2016, 14:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von MathNoob28
Warum ist die obere Grenze b?

Weil deine Frage war, woher das $\begin{eqnarray*} 1^{N-1} \end{eqnarray*}$ kommt. Wir integrieren jetzt einfach mal bis b und schauen, wie sich die obere Grenze b auswirkt.

Zitat:

Original von MathNoob28
Das integral wäre dann einfach b x _k^2

Korrekt. Jetzt integrierst du das noch über x_2 usw. bis x_N, wobei du das Integral über x_k ausläßt. smile

17.11.2016, 15:00

MathNoob28

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Danke jetzt habe ich alles verstanden Freude

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