A abz. dann ist B abz. wenn f:A->B surj.

14.11.2016, 22:57	Dollmminode	Auf diesen Beitrag antworten »
A abz. dann ist B abz. wenn f:A->B surj. Guten Abend liebe Mathematik-Freunde , ich habe folgendes Problem: Wenn A abz. und es gibt eine Abb. f:A->B surj. dann ist B (EDIT HÖCHSTENS abz. Wir haben Abzählbarkeit durch eine Bijektive Abbildung definiert. Ich habe mir nun überlegt eine Teilmenge C aus A zu wählen mit: C = [a aus A \| Für alle a1,...,i aus A, i,jeI mit f(a_i)=f(a_j), i != j ist min(ai)](geschweifte Klammern ). Damut könnte ich dann den Definitionsbereich von A auf C einschränken. sodass f\|C:C->B bijektiv ist. Da C teil von A ist C abz (das haben wirs bereits gezeigt), d.h. es gibt eine bijektive Abb. g:IN->C. Sei h=g*f\|C:IN->B, und h bijektiv, da g und f bijektiv, dann ist B abz´. Kann man das so machen?
14.11.2016, 23:03	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Dollmminode, wenn ihr Abzählbarkeit so definiert habt, dass eine Bijektion zu den natürlichen Zahlen existieren muss, dann ist die Aussage falsch!
14.11.2016, 23:06	Dollmminode	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry, die Aussage ist, B ist HÖCHSTENS abzählbar . Den endlichen Fall habe ich aber weggelassen, weil der ja trivial ist.
14.11.2016, 23:24	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, darf ich einmal zusammenfassen? Du weißt: 1) Teilmengen abzählbarer Mengen sind höchstens abzählbar. 2) Wenn es eine Bijektion zwischen zwei Mengen gibt und eine ist höchstens abzählbar, dann ist es auch die andere. Falls du das beides hast, dann ist deine Idee noch nicht ganz zielführend. Verstehe ich das richtig, dass du $\begin{eqnarray} C := \{a\in A: \forall_{b\in A}~( f(a)=f(b) \Rightarrow a=b)\} \end{eqnarray}$ ? Falls ja, so ist $\begin{eqnarray} f\big\vert_C \end{eqnarray}$ zwar injektiv, muss aber nicht mehr surjektiv sein. Beispiel $\begin{eqnarray} f:\mathbb N\to \{1\},x\mapsto 1 \end{eqnarray}$ . Hier wäre $\begin{eqnarray} C = \emptyset \end{eqnarray}$ . Du könntest stattdessen benutzen, dass aus der Voraussetzung folgt, dass es eine injektive Abbildung $\begin{eqnarray} g:B\to A \end{eqnarray}$ gibt, allerdings braucht man dafür das Auswahlaxiom. Eine weitere Idee, wäre, sich mit Hilfe des Lemmas von Zorn eine maximale Teilmenge $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ zu verschaffen, sodass $\begin{eqnarray} f\big\vert_C \end{eqnarray}$ injektiv ist. Allerdings braucht man dafür natürlich auch das Auswahlaxiom. Ich bin mir gerade nicht sicher, ob man das hier ohne AC beweisen kann, vielleicht kann man irgendwie ausnutzen, dass wir hier im Abzählbaren sind?
14.11.2016, 23:31	Dollmminode	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß: 1) und 2) genau. Nicht ganz, ich will dass C alle a aus A mit f(a)=b aus B hat, nur dass ich von allen a´s die das gleiche Bild haben, das kleinste behalten will, und alle anderen nicht in z inkludiere. also ich weiß ja dass f surj ist, also brauche ich in die Def von C nicht schreiben dass alle b ein a mit b=f(a) brauchen. Deshalb habe ich reingescrieben, sollte es i viele a geben mit f(a)=b, dann suche ich mir das minimum dieser a raus. Damit wäre wie unten ausgeführt C->B bijektiv abbildbar.
14.11.2016, 23:37	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, die Idee ist sehr gut, so können wir das Auswahlaxiom vermeiden (kleine Erklärung: Das Auswahlaxiom ist ja auch zum Wohlordnungssatz äquivalent, auf abzählbaren Mengen haben wir aber durch $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ bereits eine natürliche Wohlordnung, deswegen brauchen wir das hier nicht.) Du hast zwar auf $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ keine Ordnung, kannst dir aber mit Hilfe der Bijektion von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ eine Wohlordnung auf $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ verschaffen. Danach kannst du $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ vernünftig so definieren: $\begin{eqnarray} C := \bigcup_{b\in B}\{\min(f^{-1}(\{b\}))\} \end{eqnarray}$ .
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14.11.2016, 23:43	Dollmminode	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah cool danke. So sieht C viel besser aus. Danke dir .

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