Auf Konvergenz prüfen

15.11.2016, 13:39

Mathe<3

Auf Konvergenz prüfen

Meine Frage:
Hallo Liebe Mathefreunde,

ich habe folgende Aufgabe:

Ich soll nachprüfen ob die reihe Konvegiert:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{(n+1)^{n-1} }{(-n)^{n} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe mich für das Wurzelkriterium entschieden. Dieses sagt

1) Absolut Konvergent falls a<1
2) divergent falls a>1
3) falls a=1 keine aussage

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } Sup {\frac{\sqrt[n]{ (n+1)^{n-1} }}{\sqrt[n]{ (-n)^{n}} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } Sup {\frac{\ (n+1)^{n-1*\frac{1}{n}} }{\ (-n)} } \end{eqnarray*}$

und ab diese stelle weiß ich nicht mehr weiter ich bitte um hilfe vielen dank

15.11.2016, 13:47

klarsoweit

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RE: Auf Konvergenz Prüfen

Zitat:

Original von Mathe<3
Ich soll nachprüfen ob die reihe Konvegiert:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{(n+1)^{n-1} }{(-n)^{n} } \end{eqnarray*}$

Vermutlich eher: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{(n+1)^{n-1} }{(-n)^{n} } \end{eqnarray*}$

Die Frage ist eher, ob du mit dem Wurzelkriterium wirklich zu einer Aussage kommst. Der Summationsterm sollte dir irgendwie bekannt vorkommen.

Zitat:

Original von Mathe<3
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } Sup {\frac{\ (n+1)^{n-1*\frac{1}{n}} }{\ (-n)} } \end{eqnarray*}$

Hier sind durchaus Betragsstriche und Klammern angebracht: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } Sup {\frac{\ (n+1)^{(n-1)*\frac{1}{n}} }{|(-n)|} } \end{eqnarray*}$

15.11.2016, 14:04

Mathe<3

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RE: Auf Konvergenz Prüfen
Ich vermute mal :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } Sup {\frac{\ (n+1)^{\lim_{n \to \infty } ( n-1*\frac{1}{n})} }{\ (-n)} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } Sup {\frac{\ (n+1) }{\ (-n)} } \end{eqnarray*}$

Da das gleich 1 ist kann keine Aussage getroffen werden.
Aber wie soll ich es sonst Prüfen ?

Das Quotintenkriterium ? verwirrt

Da würde ich dies bekommen ;

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{(n+2)^{n} }{(-n-1)^{n+1} } }{\frac{(n+1)^{n-1} }{(-n)^{n} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)^{n} *(-n)^{-n} }{(-n-1)^{n+1}*(n+1)^{n-1} } \end{eqnarray*}$

und jetzt komme ich hier nicht weiter verwirrt

15.11.2016, 14:46

klarsoweit

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RE: Auf Konvergenz Prüfen

Zitat:

Original von Mathe<3
Ich vermute mal :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } Sup {\frac{\ (n+1)^{\lim_{n \to \infty } ( n-1*\frac{1}{n})} }{\ (-n)} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } Sup {\frac{\ (n+1) }{\ (-n)} } \end{eqnarray*}$

Hier bist du ja sehr beratungsresistent, was Klammersetzung und das Setzen von Betragsstrichen betrifft. Außerdem frage ich mich, was der Limes in dem Exponenten auf einmal soll?

Zitat:

Original von Mathe<3
und jetzt komme ich hier nicht weiter verwirrt

Ich hatte dir ja schon einen Tipp gegeben. Vielleicht hilft diese Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{(n+1)^n}{(-1)^n \cdot n^n} = \frac{(-1)^n}{n+1} \cdot \left(1 + \frac 1 n \right)^n \end{eqnarray*}$

15.11.2016, 15:14

Mathe<3

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RE: Auf Konvergenz Prüfen
Mit dem wurzelkriterium würde ich dann auf a=1 kommen

da:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } Sup \frac{\sqrt[n]{(-1)^{n}} }{\sqrt[n]{n+1} } *\lim_{n \to \infty } Sup \sqrt[n]{(1+ \frac{1}{n}) ^{n} } \end{eqnarray*}$

ist 1*1 =1

also keine Aussage aber was nun ?

15.11.2016, 15:52

klarsoweit

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RE: Auf Konvergenz Prüfen
Nun laß doch mal endlich die Finger von dem Wurzelkriterium. Du müßtest es doch langsam merken, daß es damit nicht geht, und gehe mal auf meinen Tipp ein.

15.11.2016, 16:12

Mathe<3

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RE: Auf Konvergenz Prüfen
ja aber ich habe doch schon mit dem Quotintenkriterium angefangen dazu haben Sie nichts gesagt Forum Kloppe

Ich würde das gerne mit dem Quotintenkriterium lösen verwirrt

15.11.2016, 16:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathe<3
Ich würde das gerne mit dem Quotintenkriterium lösen verwirrt

"Die Definition von Wahnsinn ist, immer wieder das Gleiche zu tun und andere Ergebnisse zu erwarten." (Albert Einstein)

Nochmal: Weder Quotientenkriterium noch Wurzelkriterium bringen dich hier ans Ziel, da Fall

Zitat:

Original von Mathe<3
3) falls a=1 keine aussage

vorliegt. Daher hat dir klarsoweit eine Alternative offeriert - es wäre klüger, über die nachzudenken statt weiterhin tote Pferde zu reiten.

15.11.2016, 16:51

Mathe<3

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Schöne Sprüche smile

Nagut dann versuche ich es mal mit dem Leibnizkriterium:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n} * \frac{(1+\frac{1}{n})^{n} }{n+1} \end{eqnarray*}$

als an nehme ich $\begin{eqnarray*} \frac{(1+\frac{1}{n})^{n} }{n+1} \end{eqnarray*}$

an ist somit eine nullfolge da:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n} )^{n} =e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n+1} =0 \end{eqnarray*}$

also e*0 =0 .

an ist monoton fallend da :

$\begin{eqnarray*} a_{n} \geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{e}{n+1} \geq \frac{e}{n+2} \end{eqnarray*}$ nun nehme ich *1/e

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

da n+1< n+2 ist muss offensichtlich gelten das

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

somit ist die reihe nach dem Leibniz kriterium konvergent

bitte nicht sauer sein wenn etwas nicht stimmt Tanzen

15.11.2016, 19:26

Mathe<3

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RE: Auf Konvergenz Prüfen
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{(n+1)^n}{(-1)^n \cdot n^n} = \frac{(-1)^n}{n+1} \cdot \left(1 + \frac 1 n \right)^n \end{eqnarray*}$ [/quote]

Ich verstehe den letzten schritt bei dieser umformung nicht...

warum kann man (-1)^n im nenner wegnehmen und im zähler schreiben ?

16.11.2016, 09:52

klarsoweit

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RE: Auf Konvergenz Prüfen
Das ist simple Potenzrechnung: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(-1)^n} = \frac{1^n}{(-1)^n} = (\frac{1}{-1})^n = (-1)^n \end{eqnarray*}$

Oder mit Worten: ein alternierendes Vorzeichen im Nenner ist äquivalent zu einem alternierenden Vorzeichen im Zähler. (Da bewegen wir uns aber schon auf Mittelstufen-Niveau.)

Zitat:

Original von Mathe<3
$\begin{eqnarray*} \frac{e}{n+1} \geq \frac{e}{n+2} \end{eqnarray*}$ nun nehme ich *1/e

Das geht natürlich nicht. Du kannst nicht einfach einen Teil des Summenterms durch e ersetzen. Da muß schon noch etwas mathematischer Untergrund darunter.

Es geht aber auch relativ simpel und direkt: $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| = \frac{1}{n+2} \cdot \left(1+ \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = \frac{1}{n+2} \cdot \left(1+ \frac{1}{n+1} \right)^n \cdot \frac{n+2}{n+1} = \frac{1}{n+1} \cdot \left(1+ \frac{1}{n+1} \right)^n \leq \frac{1}{n+1} \cdot \left(1+ \frac{1}{n} \right)^n = |a_n| \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

16.11.2016, 10:05

Mathe<3

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RE: Auf Konvergenz Prüfen

Zitat:

Original von klarsoweit

Es geht aber auch relativ simpel und direkt: $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| = \frac{1}{n+2} \cdot \left(1+ \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = \frac{1}{n+2} \cdot \left(1+ \frac{1}{n+1} \right)^n \cdot \frac{n+2}{n+1} = \frac{1}{n+1} \cdot \left(1+ \frac{1}{n+1} \right)^n \leq \frac{1}{n+1} \cdot \left(1+ \frac{1}{n} \right)^n = |a_n| \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Ja nur das am ende ein kleiner gleich kommen sollte oder übersehe ich da was ? Es ist ja monoton fallend..

Also somit haben wir gezeigt das der grenzwert der folge gegen 0geht und das es monoton fallend ist somit muss die reihe nach Leibniz konvegieren stimmts ?

16.11.2016, 10:38

klarsoweit

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RE: Auf Konvergenz Prüfen

Zitat:

Original von Mathe<3
Ja nur das am ende ein kleiner gleich kommen sollte oder übersehe ich da was ? Es ist ja monoton fallend..

Wenn du dir die ganze Kette ansiehst, steht ein "<=" dazwischen. Insgesamt also $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| \leq |a_n| \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Mathe<3
Also somit haben wir gezeigt das der grenzwert der folge gegen 0geht und das es monoton fallend ist somit muss die reihe nach Leibniz konvegieren stimmts ?

Korrekt.

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