Subtraktion/Addition von Wegintegralen über ein Vektorfeld

15.11.2016, 14:17	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Subtraktion/Addition von Wegintegralen über ein Vektorfeld Hallo, Sei $\begin{eqnarray} S=\{ x\in \mathbb R^3\|0\leq x_1\leq 1, 0 \leq x_2\leq x_1-x_1^2, x_3=x_1^2+x_2\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F(x)=(x_1^2,x_3,-x_2) \end{eqnarray}$ . Berechne: $\begin{eqnarray} \int_{\partial S} F\cdot ds \end{eqnarray}$ direkt. Es gilt eine Parametrisierung für $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ zu finden. Was ich machte war: $\begin{eqnarray} \gamma_1: [0,1] \to \mathbb R^3, \quad t\mapsto (t, t-t^2, t^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot{\gamma_1}(t)=(1, 1-2t, 2t) \end{eqnarray}$ Und dann: $\begin{eqnarray} \int_{\partial S} F\cdot ds=\int_{\gamma_1} F(\gamma(t))\cdot\dot{\gamma_1}(t)=...=0 \end{eqnarray}$ Was an sich stimmt, jedoch habe ich das Problem nicht vollständig erfasst. In der Lösung wird gesagt, dass sich das Integral aus dem Segment und dem Parabelschnitt ergibt. Das habe ich erst nicht gesehen. Der entscheidene Punkt das zu sehen, liegt wohl darin, dass eine Komponente konstant ist. Wir also etwas der Form: [Es geht nur ums Prinzip, das ist nicht $\begin{eqnarray} \partial S \end{eqnarray}$ , so stelle ich mri das vor.] Ich also einmal den roten Weg ablaufen muss, und danach den grünen Weg ablaufen muss. Da ich ja eine geschlossene Kurve haben möchte. Nach "langem hinstarren" habe ich folgende 2. Parametrisierung gefunden: $\begin{eqnarray} \gamma_2: [0,1]\to \mathbb R^3, \quad t\mapsto (t,0,t^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot{\gamma_2}(t)=(1,0,2t) \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} \int_{\partial S} F\cdot ds=\int_{\gamma_2} F(\gamma_2)\cdot\dot{\gamma_2}dt = ... = 1/3 \end{eqnarray}$ Somit: $\begin{eqnarray} \int_{\partial S} F\cdot ds = \int_{\gamma_2}F(\gamma_2)\cdot\dot{\gamma_2}dt-\int_{\gamma_1}F(\gamma_1)\cdot\dot{\gamma_1}dt=1/3-0=1/3 \end{eqnarray}$ Frage: Wieso werden die Integrale hier substrahiert? Sollte sich das Minus nicht aus dem Integral selbst ergeben? Aus der Tatsache, dass wir "gegen" das Vektorfeld laufen? Also effektiv Arbeit verrichten [wenn wir das mal physikalisch betrachten?]. Ich also beim zweiten integral sozusagen " $\begin{eqnarray} -0 \end{eqnarray}$ " hätte bekommen sollen? [Falls jemand ein ähnliches Problem gerade parat hat, kann man das gerne posten. Würde mich gerne an einem 2. Versuchen.]
16.11.2016, 17:59	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich konnte es lösen. Ich dachte das Vorzeichen sei sozusagen durch das Vektorfeld gegeben. Ich dachte, wenn ich sozusagen gegen den Strom laufe ergibt sich das Minus von alleine. Jedoch muss ich die Ableitung vom Weg betrachten und sehe ob ich in eine andere Richtung laufe oder nicht. Scheint dass ich das einfach sehen muss. Ich seh zwar noch nicht genau wieso ich das Vorzeichen selber bestimmen muss und es nicht automatisch gegeben ist, aber das liegt wohl im Wesen des Linienintegrals. Dass mir das Integral sozusagen nur den "Betrag" liefert - würde auch erklären wieso man in der Physik das "von Hand" definiert. Die Frage wieso den das Lininenintegral sozusagen nicht orientierungserhalten ist [ich hoffe man ich kann das so sagen], näme mich durchaus wunder aber das liegt evtl. ausserhalb meines Wissens, hmm.

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