Einheitssimplex

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Simplergehtsnicht Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitssimplex
Hallo liebe Communty!

Ich muss im Rahmen einer Physik Vorlesung herausfinden was ein sog. Einheits-Simplex ist.

Auf dem vor mir liegendem Aufgabenblatt steht, dass das Volumen eines n-dimensionales Einheits-Simplex def. ist durch und . Es soll gegeben sein durch:



Letzteres soll ich zeigen... verwirrt

Da in unserer Vorlesung nicht definiert wurde was ein Simplex ist und da ich es auch nicht wusste/weisz habe ich auf Wikipedia (in mehreren Sprachen) darueber gelesen... leider hilft mir das nicht wirklich viel weiter. Daher habe ich mir gedacht ich koennte hier nochmal danach fragen... vllt. hilft mir ja jemand der es weisz. Big Laugh

Die Hinweise auf dem Blatt helfen mir auch nicht wirklich:

ZITATE:
" Im n-dimensionalen Raum ist das Volumen eines Gebiets definiert durch:
."
Wieterhin heisst es:
Sei der Simplex definiert durch und . Zeigen Sie, dass ,. Beweisen Sie, mit Hilfe der Beziehung , die Rekursionsrelation . Hieraus erhaelt man dann die Formel fuer durch Induktion.
ZITAT ENDE

Ich sitze jetzt schon sehr lange vor dieser Aufgabe und schaffe es nicht mit etwas "sinnvollem" anzufangen... ich glaube mein groesztes Problem ist momentan, dass ich nicht wirklich eine Definition von einem Simplex habe und ich nicht weisz was mit den unterschiedlichen x_i gemeint ist... Sind das die Kanten meines Polygons?

Ich glaube wenn jemand so nett waere mir zu erklaeren was ein Simplex ist wuerde ich es schaffen die Aufgabe selbststaendig zu loesen ... Danke Big Laugh

PS: Bin kein Mathematik Studierender...
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ein n-Simplex ist eine n-dimensionale Pyramide, die im n-dimensionalen Raum durch n Vektoren aufgespannt wird.
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Beispiel 1:
Ein 2-Simpex wird durch 2 Vektoren aufgespannt und ist folglich ein Dreieck.

Beispiel 2:
Ein 3-Simpex wird durch 3 Vektoren aufgespannt und ist folglich ein Tetraeder, dessen Seitenflächen 4 Dreiecke sind. Allgemein hat ein (n+1)-Simplex n+1 "Seitenflächen", welche ihrerseits n-Simplexe darstellen.
----------------------------------------------------

Volumen von n-Simplexen
Ein n-Simplex, der wie gesagt stets von Vektoren aufgespannt wird, hat das Volumen

Der Beweis wird durch vollständige Induktion wie folgt geführt:
Man bastelt sich aus einem n-Simplex einen (n+1)-Simpex, indem man sich einen weiteren Vektor hinzudenkt und dessen "Pfeilspitze" mit den "Ecken" des n-Simplex verbindet. Also kann man den n-Simplex als "Grundfläche" des (n+1)-Simplex interpretieren. Sei das Volumen des n-Simplex. Durch Integration im (n+1)-dimensionalen Raum kann man zeigen, dass das Volumen des (n+1)-Simplex lautet



Beispiel:
Das Volumen des Tetraeders lautet , wobei das "Volumen" (=Flächeninhalt") der dreieckigen Grundfläche ist.
Simplergehtsnicht Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.

Damit laesst sich soweit alles loesen. =D
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