Komplexe Zahl aus trigo in kartesisch

15.11.2016, 14:37

Mathe:(

Komplexe Zahl aus trigo in kartesisch

moin moin,

ich habe folgende komplexe zahl:

$\begin{eqnarray*} (-\cos(50°)-j\sin(50°))^6 \end{eqnarray*}$

wenn ich dies ^6 rechnen möchte ergibt es:

$\begin{eqnarray*} 1^6*(-\cos(300°)-j\sin(300°)) \end{eqnarray*}$

kann ich dies überhaupt, wenn ich der ausgangsgleichung -cos und -sin steht? - ausklammern würde mich aufs ergebnis führen, aber geht es auch ohne? bzw gilt die umformung für -?

um dies in kartesisch umzurechnen, kann ich folgende 2 gleichungen nehmen:

x = cos(phi) * r
y = sin(phi) * r

x = -cos(300) * 1 = -1/2
y = -sin(300) * 1 = wurzel3/2

z = -1/2+j wurzel3/2

ergebnis ist allerdings 1/2 - j wurzel3/2 verwirrt

vielen dank schonmal Tanzen

15.11.2016, 14:47

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahl aus trigo in kartesisch

Zitat:

Original von Mathe
moin moin,

ich habe folgende komplexe zahl:

$\begin{eqnarray*} (-\cos(50°)-j\sin(50°))^6 \end{eqnarray*}$

wenn ich dies ^6 rechnen möchte ergibt es:

$\begin{eqnarray*} 1^6*(-\cos(300°)-j\sin(300°)) \end{eqnarray*}$

Nein. Richtig ist $\begin{eqnarray*} (-1)^6\cdot \left(\cos\left(300^{\circ}\right)+j\sin\left(300^{\circ}\right)\right) = \cos\left(300^{\circ}\right)+j\sin\left(300^{\circ}\right) \end{eqnarray*}$ .

15.11.2016, 14:54

Mathe:(

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahl aus trigo in kartesisch

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

also darf man die potenzregel nur bei r(cos(x)+jsin(x)) anwenden? wie ich schon vermutete?

15.11.2016, 14:55

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja: Die Moivre-Formel lautet $\begin{align*} \left(\cos(\varphi)+j\sin(\varphi)\right)^n = \cos(n\varphi)+j\sin(n\varphi) \end{align*}$ .

Etwaige "Experimente" mit Vorzeichen darin sollten nicht auf raten, sondern auf soliden Umformungen basieren, z.B.

$\begin{align*} \left(\cos(\varphi)-j\sin(\varphi)\right)^n = \left(\cos(-\varphi)+j\sin(-\varphi)\right)^n = \cos(-n\varphi)+j\sin(-n\varphi) = \cos(n\varphi)-j\sin(n\varphi) \end{align*}$ ,

aufgrund von $\begin{align*} \cos(t)=\cos(-t) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} -\sin(t)=\sin(-t) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} t \end{align*}$ . Hingegen ist

$\begin{align*} \left(-\cos(\varphi)-j\sin(\varphi)\right)^n = \left((-1)\cdot\left(\cos(\varphi)+j\sin(\varphi)\right)\right)^n = (-1)^n\cdot\left(\cos(\varphi)+j\sin(\varphi)\right)^n = (-1)^n\cdot\left(\cos(n\varphi)+j\sin(n\varphi)\right) \end{align*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Komplexe Zahl aus trigo in kartesisch

Verwandte Themen