Summe zweier Gruppenhomomorphismen zwischen abelschen Gruppen

15.11.2016, 16:19

dubbox

Summe zweier Gruppenhomomorphismen zwischen abelschen Gruppen

Meine Frage:
Die formulierung der Frage lautet wie folgt:
Sind $\begin{eqnarray*} f,g:G \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ zwei Gruppenhomomorphismen zwischen abelschen Gruppen $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (H,\otimes) \end{eqnarray*}$ , dann ist ihre Summe $\begin{eqnarray*} f+g \end{eqnarray*}$ , definiert durch
$\begin{eqnarray*} (f+g)(x)=f(x) \otimes g(x) \end{eqnarray*}$
ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus.

Meine Ideen:
Ich habe mir wie folgt Gedanken gemacht:
Sei
$\begin{eqnarray*} h(x) = (f+g)(x) \end{eqnarray*}$
dann soll
$\begin{eqnarray*} h(x*y)=h(x) \otimes h(y)=(f(x) \otimes g(x)) \otimes (f(y) \otimes g(y)) \end{eqnarray*}$
wenn die Summe ein Gruppenhomomorphismus ist, da die Definition eines Gruppenhomomorphismus ja wie folgt ist
$\begin{eqnarray*} f(x*y) = f(x) \otimes g(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich nur ehrlich keine Ahnung, wie es weiter gehen soll. Irgendwie muss ich wohl die Homomorphieeigenschaften von $\begin{eqnarray*} g,f \end{eqnarray*}$ benutzten, aber mir erschließt sich leider noch nicht wie.

Vielen Dank schon mal für eure Zeit und Hilfe!

15.11.2016, 20:07

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (f+g)(x*y)=f(x*y)\otimes g(x*y)=f(x)\otimes f(y)\otimes g(x)\otimes g(y)=... \end{eqnarray*}$
und weil H abelsch ist, ist der rest wohl keine große Sache mehr.

15.11.2016, 22:48

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe zweier Gruppenhomomorphismen zwischen abelschen Gruppen

Zitat:

Original von dubbox

wenn die Summe ein Gruppenhomomorphismus ist, da die Definition eines Gruppenhomomorphismus ja wie folgt ist
$\begin{eqnarray*} f(x*y) = f(x) \otimes {\color{red}g(x)} \end{eqnarray*}$

Das Rote ist der entscheidende Lapsus, der dir unterlaufen ist. Es müsste heißen

$\begin{eqnarray*} f(x*y) = f(x) \otimes f(y) \end{eqnarray*}$

16.11.2016, 16:06

dubbox

Auf diesen Beitrag antworten »

Also es muss gelten für die Summe

$\begin{eqnarray*} f(x*y) = f(x) \otimes f(y) \end{eqnarray*}$

Da nun

$\begin{eqnarray*} (f+g)(x*y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =f(x*y)\otimes g(x*y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =f(x)\otimes f(y)\otimes g(x)\otimes g(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =f(x) \otimes g(x) \otimes f(y) \otimes g(y) \end{eqnarray*}$ -> Wegen der Kommutativität einer abelschen Gruppe

$\begin{eqnarray*} =(f(x) \otimes g(x)) \otimes (f(y) \otimes g(y)) \end{eqnarray*}$ -> Wegen der Assoziativität

$\begin{eqnarray*} = (f+g)(x) \otimes (f+g)(y) \end{eqnarray*}$

Ist das so dann der Beweis, durch Nutzung der Kommutativität und Assoziativität?

Vielen Dank euch beiden schon für eure Hilfe!!

16.11.2016, 16:23

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so geht's. Freude

Neue Frage »

Antworten »

Summe zweier Gruppenhomomorphismen zwischen abelschen Gruppen

Verwandte Themen