Verteilungsfunktionen - Werte berechnen

15.11.2016, 23:34	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktionen - Werte berechnen Hallo zusammen, ich habe noch eine Frage zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten über die Verteilungsfunktion. Sei F eine Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Wenn man jetzt die Wahrscheinlichkeit berechnen möchte, dass X höchstens den 2 ist, würde ich so vorgehen: $\begin{eqnarray} P(X \leq 2) = F(2) \end{eqnarray}$ Was muss ich jetzt einsetzen, wenn ich die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen will, dass X kleiner 2 ist. Also: $\begin{eqnarray} P(X < 2) \end{eqnarray}$ Danke im Voraus
16.11.2016, 00:13	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktionen - Werte berechnen Dies ist nur relevant bei diskreten Verteilungen, wenn die Verteilungsfunktion bei 2 einen Sprung macht. Bei einer bei 2 stetigen Verteilung sind die beiden Wahscheinlichkeiten gleich. Man könnte definieren $\begin{align} P(X<2) = \lim_{X\nearrow 2}F(X) \end{align}$ Es ist ja (in der üblichen rechtsstetigen Konvention) $\begin{align} F(\alpha) = \lim_{X\searrow \alpha} F(X) \end{align}$ d.h. hier konkret, $\begin{align} F(2) \end{align}$ ist der Grenzwert, wenn man sich von rechts nähert. Dagegen ist bei einem Sprung der Verteilungsfunktion an der Stelle 2 $\begin{align} P(X<2) = \lim_{X\nearrow 2}F(X)< F(2) \end{align}$ Ist die Verteilungsfunktion bei 2 stetig, so ist $\begin{align} P(X<2) = \lim_{X\nearrow 2}F(X)= \lim_{X\searrow 2} F(X) = F(2) = P(X\le 2) \end{align}$ Die Menge $\begin{align} \{2\} \end{align}$ hat Maß null, $\begin{align} P(X=2) \end{align}$ ist im stetigen Fall also gleich 0.
16.11.2016, 08:22	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen Dank!

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