Minorantenkriterium

16.11.2016, 10:53	Hornliu	Auf diesen Beitrag antworten »
Minorantenkriterium Meine Frage: Hallo liebes Matheboard! Ich hänge beim Umformen bei der Verwendung des Minorantenkriteriums. Gegeben ist folgendes: Untersuche auf Konvergenz bzw. Divergenz: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{q=1}^{\infty} \frac{(q^2-1)^2}{q^5-q^3-1} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Bei der Anwendung des Quotientenkriteriums, komme ich auf keine Aussage gegenüber Konvergenz bzw. Divergenz. Meine Vermutung ist allerdings, dass diese Reihe divergiert. Nun mein Versuch mit dem Minorantenkriterium: $\begin{eqnarray} \frac{(q^2-1)^2}{q^5-q^3-1} = \frac{q^4-2q^2+1}{q^5-q^3-1} > \frac{q^4-2q^2}{q^5-q^3} = \frac{q^2-2}{q^3-q} \end{eqnarray}$ Hatte ab hier schon einige Abschätzungen versucht, und schätze anscheinend immer zu "großzügig" ab. Auch eine Partialbruchzerlegung hat mir hier nicht wirklich geholfen, ich notier sie trotzdem: $\begin{eqnarray} \frac{q^2-2}{q^3-q} = \frac{q^2-2}{q(q+1)(q-1)} = \frac{2}{q} - \frac{1}{2(q+1)}-\frac{1}{2(q-1)} \end{eqnarray}$
16.11.2016, 11:06	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minorantenkriterium Hau doch einfach mal mit dem Holzhammer auf $\begin{eqnarray} \frac{(q^2-1)^2}{q^5-q^3-1} \end{eqnarray}$ drauf. Für q >=2 gilt: $\begin{eqnarray} \frac{(q^2-1)^2}{q^5-q^3-1} \geq \frac{(q^2-\frac 1 2 q^2)^2}{q^5} \end{eqnarray}$ Der Rest sollte klar sein.
16.11.2016, 11:14	Hornliu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minorantenkriterium Hallo klarsoweit! Was den Holzhammer angeht, bin ich nicht so geschickt. Aber danke, nun ist alles klar!
16.11.2016, 11:48	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minorantenkriterium Die vorhandene Abschätzung hätte alternativ so fortgesetzt werden können: $\begin{align} \frac{q^2-2}{q^3-q}\geq \frac{q^2-q}{q^3-q}= \frac{q-1}{q^2-1}= \frac{1}{q+1} \end{align}$

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