Konvergiert die Reihe?

16.11.2016, 16:19

Martin321

Konvergiert die Reihe?

Meine Frage:
Hey alle zusammen.

Ich hätte ne frage zu dieser reihe :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n!}{n^{n}} \end{eqnarray*}$

Konvegiert diese Reihe oder nicht ?

Meine Ideen:
Meine Überlegung:

$\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1} }{a_{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!*n^{n}}{(n+1)^{n+1}*n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} =0 <1 \end{eqnarray*}$

somit Konvegiert diese Reihe würde ich sagen. was sagt ihr dazu ?

16.11.2016, 16:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Martin321
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} =0 <1 \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert links existiert, ja. Und er ist auch <1, ja, somit konvergiert die Reihe.

Aber: Dieser Grenzwert links ist nicht 0, sondern ...

16.11.2016, 16:46

Martin321

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dieser grenzwert ist 1/e.

aber eine frage dazu..

wenn ich es einerseits so mache ;

= $\begin{eqnarray*} n^{n} * \frac{1}{(n+1)^{n} } \end{eqnarray*}$

dann kriege ich als grenzwert 0 raus da n^n gegen 0 konvegiert und 1/(n+1)^n.

aber wenn ich es andersrum mache bekomme ich 1/e raus aber warum ist das so ?

16.11.2016, 17:26

Martin321

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hallo?

16.11.2016, 17:42

Leopold

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Zitat:

Original von Martin321
dann kriege ich als grenzwert 0 raus da n^n gegen 0 konvegiert und 1/(n+1)^n.

$\begin{align*} n^n \to \infty \, , \ \ \frac{1}{(n+1)^n} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty \end{align*}$

$\begin{align*} \infty \cdot 0 \end{align*}$ - ein unbestimmter Ausdruck

16.11.2016, 18:13

Martin321

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achso vielen dank ist angekommen Freude

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