2 Beispiele mit Integralsvolumen

16.11.2016, 17:43	chudl	Auf diesen Beitrag antworten »
2 Beispiele mit Integralsvolumen Hallo liebe Leute, ich habe mit 30 doch nochmal zu studieren begonnen und bin gerade dabei mir wieder mathematische Kenntnisse anzueignen. Ich lerne gerade für einen Test und hänge da jetzt schon länger an 2 Beispielen. #1) Ein Körper K hat als Grundfläche eine Ellipse mit längstem Durchmesser 12 und kürzestem Durchmesser 8. Jede Ebene, die K trifft und auf die Hauptachse der Ellipse senkrecht steht, schneidet aus K ein Quadrat heraus. Berechnen Sie das Volumen des Körpers K. #2) Die Grundfläche eines Körpers K ist ein Trapez durch die Punkte (0, 0, 0), (10, 0, 0), (10, 5, 0), (0, 10, 0) . Jede Ebene, die K trifft und parallel zur y, z-Ebene ist, schneidet aus K einen Halbkreis heraus. Berechnen Sie das Volumen von K. Zu #1, die grenzen des Integrals sind -6 & 6, der Integrant ist die Breite des jeweiligen Schnitts hoch 2. Und wo bzw wie bekomme ich die Seitenlänge her? Es muss irgendwie von der Formel x^2/a^2+y^2/b^2 = 1 oder? Ich komm einfach nicht drauf. Und bei #2 hab ich im Moment keinen Plan muss ich gestehen. Bin für jede Hilfe dankbar und schon echt ein wenig verzweifelt... ^^ Danke und liebe Grüße
16.11.2016, 18:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Begriff "kürzester Durchmesser" irritiert mich. Denn so etwas gibt es meiner Ansicht nach nicht. Gemeint ist wohl die kleine Achse der Ellipse. Dann hat die Ellipse hat die Gleichung $\begin{align} \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1 \end{align}$ Zulässig sind $\begin{align} x \end{align}$ -Werte im Intervall $\begin{align} [-6,6] \end{align}$ . Und jetzt stellst du dir bei irgendeinem dieser $\begin{align} x \end{align}$ -Werte senkrecht zur $\begin{align} x \end{align}$ -Achse das Quadrat vor. Es hat einen Flächeninhalt $\begin{align} A(x) \end{align}$ . Das Volumen des Körpers ist daher $\begin{align} V = \int_{-6}^6 A(x) ~ \dd x \end{align}$ Wenn $\begin{align} a(x) \end{align}$ die Länge der Quadratseite ist, gilt $\begin{align} A(x) = \left( a(x) \right)^2 \end{align}$ . Jetzt fehlt dir zur Lösung nur noch $\begin{align} a(x) \end{align}$ . Und dieses entnimmst du den $\begin{align} y \end{align}$ -Werten der Ellipsenpunkte bei der Stelle $\begin{align} x \end{align}$ .
16.11.2016, 19:03	chudl	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, danke für die schnelle Hilfe. Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe dann forme ich jetzt nach y um. Das ist dann $\begin{eqnarray} y=4\sqrt{1-x^2/6^2} \end{eqnarray}$ das zum Quadrat ist $\begin{eqnarray} y=161-x^2/6^2 \end{eqnarray}$ . Und das jetzt integrieren wenn ich das richtig verstanden habe?!
16.11.2016, 19:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So ähnlich. Ein paar Fehler sind noch drin, am übelsten ist der Verstoß gegen die mathematische Termgrammatik. Die Auflösung nach $\begin{align} y \end{align}$ ergibt dir zwei Werte, da gehört also ein $\begin{align} \pm \end{align}$ vor die Wurzel. Die Quadratlänge ist nun das Doppelte des positiven $\begin{align} y \end{align}$ -Wertes. Und dieses Doppelte mußte du quadrieren. Und dann, wie gesagt, der Verstoß gegen die Termgrammatik. Vielleicht findest du ihn selber.
16.11.2016, 22:51	chudl	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{-6}^{6} \! ((4+\sqrt{1-\frac{x^2}{6^2} })2)^2 dx \end{eqnarray*}$ Ich muss dir gestehen den Verstoß finde ich nicht. Hab wie gesagt ewig kein Mathe mehr gemacht und bin gerade dabei mir wieder alles anzueignen.
16.11.2016, 23:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt steht plötzlich ein Plus, wo zuvor ein Mal stand. Dann kommt es eben darauf an, wie du weiterrechnest.
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