Abbildungsvorschrift Richtungsfeld

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lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Meine Frage:
Hallo,
Ich habe eine Frage bezüglich der Abbildungsvorschrift von folgendem Richtungsfeld:

Erstmal habe ich folgende DGL gegeben:
B'=rB-bBR
R'=bBR-sR

Wir betrachten das RF dR/dB = dR/dt / dB/dt = R'/B' = bBR-sR / rB-bBR.
Dabei entstehen geschlossene Kurven als Lösungen.
Meine Frage ist zuerst einmal, wie es sein kann, dass die Richtungsvektoren im Bild auch nach links unten zeigen können, gewohnt wäre man ja eigentlich als Steigung nur Pfeile nach rechts oben/unten/mitte/etc.
Dazu kommt die Frage der Abbildungsvorschrift. Wie sieht eine solche aus?

Meine Ideen:
Also ich denke, da es sich bei R und B und Räuber und Beute handelt, und das RF die Änderung von R nach B betrachtet, kann es eben sein, dass sowohl die Anzahl von R als auch von B abnimmt, wodurch der Pfeil nach links unten steht als Beispiel.

Die Abbildungsvorschrift könnte sein: (R,B) -> F(R,B) als Richtungsvektor? Dabei hab ich wirklich keine Ahnung. Es ist auf jeden Fall eine Abb. in die reelen Zahlen, weshalb es sich eigtl nicht um einen Vektor handeln darf. Es kommt beim Berechnen ja auch eine reele Zahl raus.

Danke und Grüße,
Lissy
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Zitat:
Original von lissy1234567
Wir betrachten das RF dR/dB = dR/dt / dB/dt = R'/B' = bBR-sR / rB-bBR.
Dabei entstehen geschlossene Kurven als Lösungen.
Meine Frage ist zuerst einmal, wie es sein kann, dass die Richtungsvektoren im Bild auch nach links unten zeigen können, gewohnt wäre man ja eigentlich als Steigung nur Pfeile nach rechts oben/unten/mitte/etc.

Das Richtungsfeld ist gegeben durch die Vektoren . Diese Vektoren können in jede Richtung zeigen. Wenn man nur die Steigungen betrachtet, geht ein Teil der Information über die Richtung verloren.

Zitat:
Dazu kommt die Frage der Abbildungsvorschrift. Wie sieht eine solche aus?

Das ist einfach

lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Vielen Dank smile
Ich versteh allerdings nicht ganz, wieso es Vektoren sind, unsere Abbildung ist ja 1-dimensional und daher muss ja eine Zahl herauskommt ? verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Wir haben doch 2 Variablen, R und B. Das Richtungsfeld gibt an, wie stark sich R und B an einer gegebenen Stelle ändern. Diese beiden Änderungen definieren einen Vektor in der (R, B)-Ebene.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Achso, okay, jetzt ist es klar.
Ist es dann eine Abbildung vom R^2 in den R^2 ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Ja!
 
 
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Lieben Dank smile
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Habe doch noch eine Frage: wie kann es eine Abbildung von R^2 nach R^2 sein, wenn das RF bzw die Zeichnung definitiv im R ist ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Die Zeichnung ist in der Papierebene, die dem entspricht und ein Zahlenpaar ist ein Element des , nicht des .
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Alles klar danke
Noch eine andere Frage ... Für was genau steht in dem Beispiel von mir oben die Länge der Richtungsvektoren ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Bedeutung haben die beiden Komponenten des Richtungsvektors und deren Bedeutung ist doch klar. Die Länge des Vektors hat hier keine tiefere Bedeutung.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Okay, ich dachte die Länge hat etwas mit der Zeit zu tun. Bei einem ähnlichen Beitrag von mir hat sich das so angehört..
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Was meinst du?
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Lies dir den Beitrag " Richtungsfelder und Steigung" durch, da hast du gesagt, die Länge gibt Auskunft über die Zeit smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Das war doch eine andere Art von Richtungsfeld.

Man kann zwar auch hier sagen, dass die Länge des Vektors proportional zu der Geschwindigkeit ist, mit der man sich im -Konfigurationsraum bewegt, aber mir fällt keine anschauliche Bedeutung der Abstände in diesem Konfigurationsraum ein, außer bei waagrechten und senkrechten Abständen.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
In dem anderen Beitrag ging es ja auch um Ein DGL-System, also so wie bei R und B, daher dachte ich es ist auch irgendwie abhängig. Vielen Dank für die Antworten smile
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Eine Frage ist mir eben noch eingefallen: Ich betrachte ja dR/dB und für gegebene Punkte entsteht eine Zahl dafür. Diese Zahl gibt die Steigung an ? Aber warum ist die AbbildungVorschrift dann nicht (R,B) -> 'Steigung' sondern auf die beiden Vektoren und warum geht der Teil der Info über die Richtung verloren ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Es sei in einem Punkt der -Ebene

a)

b)

c)

Wenn du dich darauf versteifst, für das Richtungsfeld nur zu betrachten, ist der Richtungspfeil in allen 3 Fällen derselbe, nämlich nach rechts-oben. Die Information, dass bei a) R und B als Funktion von t in dem betrachteten Punkt beide größer werden, im Fall b) aber beide kleiner, ist verlorengegangen. Zeichnest du aber als Richtungspfeil ein, ist die Information da. Der Richtungspfeil zeigt bei b) nach links-unten.

Im Fall c) geht bei Betrachtung von die Information verloren, dass sich R und B hier doppelt so schnell ändern wie im Fall a). Zeichnet man dagegen , ist die Information vorhanden. Man würde einen doppelt so langen Richtungspfeil zeichnen wie im Fall a).
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Achso, sehr anschauliches Beispiel, super ! Das heißt, die Zahl dR/dB gibt zwar schon die Änderung an, aber nicht in welche Richtung ( also positiv oder negativ ) die Änderung geht ...interessant!
Also ist es falsch, nur dR/dB zu betrachten, da sonst gar keine geschlossene Kurven entstehen würden ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsvorschrift Richtungsfeld
Zitat:
Original von lissy1234567
Achso, sehr anschauliches Beispiel, super ! Das heißt, die Zahl dR/dB gibt zwar schon die Änderung an, aber nicht in welche Richtung ( also positiv oder negativ ) die Änderung geht ...interessant!

Genauer gibt nur das Verhältnis der beiden Änderungen an.

Zitat:
Also ist es falsch, nur dR/dB zu betrachten, da sonst gar keine geschlossene Kurven entstehen würden ?

Falsch ist ein hartes Wort. Es ist zumindest höchst unpraktisch. Und ja, falls das Problem geschlossene Trajektorien hat, sind in einem -Bild nicht sichtbar.
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