Integrationsaufgabe

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AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsaufgabe
zu a) Wenn ich tausche steht da:





Wäre das richtig?

WIe schreibe ich das Integral als iteriertes Integral?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, deine Rechnung stimmt nicht. Unterscheide die Fälle und und addiere die zugehörigen Integrale. Ohne Zeichnung geht da nichts.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Hier meine Zeichung. Wie sehe ich jetzt mein Integral mit vertauschter Reihenfolge?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zeichnung stimmt. Wenn du den Integrationsbereich auf die -Achse projizierst, kannst du gut erkennen, daß gelten muß. Und an der Zeichnung siehst du auch schön, warum die Sache für anders verläuft als für .
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry leopold. Ich kann mir das nicht vorstellen. Wie siehst du das?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm etwa die Stelle auf der -Achse. Schneidest du auf dieser Höhe parallel zur -Achse die Schnittstrecke aus dem Bereich aus, dann haben deren Punkte die -Koordinaten von bis . Nimm dann und schneide wieder parallel zur -Achse die Schnittstrecke aus. Jetzt haben die -Koordinaten die Werte von bis .
Und das ist allgemein so: Für ein haben die -Koordinaten der entsprechenden Schnittstrecke die -Werte von bis . Deswegen sieht es bei vertauschter Integrationsreihenfolge so aus:



Und jetzt mußt du bei den Pünktchen das Integral für den Bereich ergänzen. Schau in die Zeichnung. Jetzt sieht die untere Grenze des inneren Integrals anders aus.
 
 
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »



So hoffentlich?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nein. Beim Auflösen eines Bereichsintegrals in ein iteriertes Integral können (zunächst) keine negativen Integrationsrichtungen entstehen. Nehmen wir ein zwischen 2 und 4, etwa . Laut deinem Vorschlag müßte man im inneren Integral von nach integrieren. Da geht es von rechts nach links, was nicht sein kann. Und ein weiterer Fehler fällt auf: darf keine negativen Werte annehmen. Das siehst du ja schon an deiner Zeichnung. Da hat kein Punkt eine negative -Koordinate.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss das dx bezogene integral von sqrt(y) bis y+2 gehen. Jetzt muss es doch stimmen Gott
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Warum nimmst du nicht einfach einmal ein Lineal und ziehst auf der Höhe einen waagerechten Strich durch den Bereich? Du behauptest, die -Werte der Schnittstrecke würden bei als kleinstem Wert beginnen und bei als größtem Wert enden. Offenbar ist aber der größte -Wert im gesamten Bereich . Das kann doch gar nicht stimmen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht kann Andi den Kopf nicht neigen, weder in echt noch gedanklich. Daher eine Unterstützung:

[attach]43016[/attach]
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Dann andersrum von y+2 bis sqrt(y)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Interessant, dass du lieber zigmal vergeblich rätst, statt mit einem Blick auf die Zeichnung einmal gründlich über

Zitat:
Original von Leopold
Und an der Zeichnung siehst du auch schön, warum die Sache für anders verläuft als für .

nachzudenken.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann von y-2 bis sqrt(y)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]43023[/attach]



Heureka!

AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt smile

Kannst du mir bei Teilaufgabe b Tipps geben , wie ich das dann skizzieren und als Integral schreiben kann?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Skizzieren von Vierdimensionalem habe ich so meine Probleme. Integriere zunächst über (das Integrationsintervall ist ja direkt angegeben) und innen über in Abhängigkeit von . Beachte, daß bei fest gedachtem durch eine Kugel vom Radius beschrieben wird. Wenn du die fertige Formel für das Kugelvolumen verwenden darfst, ist die Aufgabe sofort gelöst.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine Teilaufgabe b erstmal. Wie sieht es da aus?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Da sollst du die Menge skizzieren. Steht ja da ...
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wie skizziere ich das ??

Ist mein Integral einfach dann das:

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mich wundert, daß dir die algebraische Beschreibung einer Kugel vom Radius , nämlich , noch nicht untergekommen sein soll. Zumal ich ja in meinem vorigen Beitrag darauf Bezug genommen habe, wenn auch bei Aufgabe c). Und wenn nun zusätzlich verlangt wird, um welchen Teil der Kugel handelt es sich dann?

Wenn du über integrierst, kann nicht in den Integrationsgrenzen auftreten:



Diesen Fehler machst du immer wieder, schon in deinem Eröffnungsbeitrag, dort bei der Variablen . Um das Intervall für zu finden, mußt du die Bedingungen analysieren, die betreffen:



Nehmen wir einmal die zweite Bedingung und setzen ein:



Wegen der Quadrate gibt es keine , so daß diese Ungleichung erfüllt wird. Das zeigt, daß ein verbotener Wert ist. Jetzt überlege dir, welche zulässig sind, damit es gibt, die die Ungleichung erfüllen. Kombiniert mit der Bedingung führt dich das auf das Integrationsintervall für .
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

z=4 ist doch der maximal mögliche Wert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und deswegen ist das Integrationsintervall für , wenn du außen mit der Integration über beginnst:



Jetzt mußt du auch noch das innere Bereichsintegral in Einzelintegrationen auflösen. Du kannst zum Beispiel mit weitermachen. Die Rolle, die zuvor für gespielt hat, spielt jetzt für . Es wird jetzt also etwas komplizierter mit den Integrationsgrenzen.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist jetzt der Trick um die Grenzen zu sehen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Überlegung steckte dahinter, als du aus für die obere Grenze berechnetest?
Und jetzt haben wir eine analoge Situation:



Was ist hier die obere Grenze für ? Die untere ist ja durch in der Aufgabe bereits festgelegt.
Und zu guter Letzt mußt du ganz innen noch die Integration über durchführen. Dieses Mal steht aber nichts von da. Was ist dann die untere Grenze?
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

x=4 wäre die obere Grenze.
Beim innersten Integral ist nicht einfach y die untere Grenze.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Beides ist falsch. Schon wieder willst du bei der Integralgrenze verwenden, obwohl doch über integriert wird. Darüber habe ich schon etwas gesagt:

Zitat:
Original von Leopold
Wenn du über integrierst, kann nicht in den Integrationsgrenzen auftreten:



Diesen Fehler machst du immer wieder, schon in deinem Eröffnungsbeitrag, dort bei der Variablen .


Wie oft willst du diesen Fehler noch machen?
Ich vermute, dein Problem liegt darin, daß du gerne etwas nachmachen willst, ohne den Grund zu kennen, warum es so geht. Und deswegen geht das jedes Mal schief.

Zitat:
Original von Leopold
Welche Überlegung steckte dahinter, als du aus für die obere Grenze berechnetest?


Mach dir die Überlegung bewußt. Es reicht nicht, einfach etwas zu tun. Du mußt auch verstanden haben, warum man es tut. Und dann führe die analoge Überlegung hier durch:

Zitat:
Original von Leopold


Was ist hier die obere Grenze für ? Die untere ist ja durch in der Aufgabe bereits festgelegt.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Die untere grenze wäre ja 0. Ich stehe echt auf dem schlauch bei der oberen. Wie sieht meine Überlegung dazu aus?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Also mein Integral ist jetzt


Ich hoffe so stimmt es. Wie kann ich die c angehen?
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ist c einfach:

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