Bei welchen Potenzen ist die Basis in den Betrag zu setzen?

Neue Frage »

Whitis Auf diesen Beitrag antworten »
Bei welchen Potenzen ist die Basis in den Betrag zu setzen?
Hallo! smile

Eigentlich ist meine Frage eine ganz einfache:

In welchen Fällen von potenzierten Termen muss ich die Basis in Betragsstriche setzen?


Bisher "wusste" ich es so, dass das notwendig ist, wenn die Basis negativ sein kann, sowie der Exponent eine gerade Zahl im Nenner hat und ich diesen irgendwie wegkürze.

Also bspw.



Oder auch








Das Problem:
Man bekommt zwei Lösungen raus und muss diese in die "Ursprungsfunktion" einsetzen, um zu schauen, ob sie denn definiert ist. Im Zweifel ist die zweite Lösung nicht definiert und die Betragsstriche waren unnötig.

Allgemein aber insbesondere beim zweiten Beispiel soll man aber wohl an der Funktion selbst sehen, dass es hier nicht nötig ist, Beträge zu setzen (die zweite Lösung durch die Beträge ist nicht definiert).
Wie man das erkennt, wurde leider nicht gesagt.
Es gebe wohl vier unterschiedliche Fälle, an denen man das festmachen kann.


Durch eigene Google-Recherche ist leider das einzige was ich herausfinden konnte, dass es von der Anzahl der Zweien der Primfaktorzerlegung vom Zähler und Nenner der Exponenten abhängt (Wikipedia). Wie genau das dann aber aussieht habe ich leider nicht herausfinden können.

Auch glaube ich, dass es eine "einfachere" Herangehensweise gibt, da es recht einfache Unterscheidungsmerkmale sind und nicht so etwas "kompliziertes" wie die Betrachtung der Primfaktorzerlegungen (zumal wir die lt. Lehrplan gar nicht kennen und nicht kennenlernen).


Wenn Ihr mir das einmal darlegen könntet, wäre ich wirklich sehr dankbar.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »






der Plotter kennt deine Probleme anscheinend nicht. Augenzwinkern

Es gibt ja die Fälle bei Gleichungen wo vereinbart wird, dass Diese alle gutartig und definiert sein sollen. Das Lernziel liegt mehr auf dem Umgang mit Potenzen etc.
Oder eben nach Lösungen "gekuckt" wird. So auch hier.

Wenn man z.B. die Erste als Funktionsterm umschreibt, ist die Frage nach einer maximalen Definitionsmenge gar nicht trivial und eine eigene Aufgabe. MMn

oder gehört das explizit zur Aufgabe ?
Whitis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schon einmal für die Antwort. Freude


Die Aufgabenstellung lautet schlicht und einfach die Lösungsmenge herauszufinden.

Es geht auch nicht darum einfach nur die Rechenregeln zu lernen. Wenn man beim ersten Beispiel die Beträge nicht beachtet, erhält man nicht alle drei Lösungen 1, 0 und -1 und bekommt null Punkte.
Es ist auch genau genommen keine Schulmathematik, sondern in der Uni. Aber solange das bei der Hilfe hier keine großen Unterschiede macht, soll mir die Verschiebung egal sein. smile

Man könnte sagen, dass es explizit darum geht, wirklich alle Lösungen zu finden und Potenzgesetze wenigstens in einem Mindestmaß richtig anzuwenden
(-> evtl. negative Basis + evtl. gerade Zahl im nenner der Potenz -> Betragsstriche setzen und Lösungen überprüfen)

Das reicht mir aber nicht, da es wohl einen Trick gibt schon an der Gleichung zu erkennen, ob Betragsstriche nötig sind oder nicht.

Dieses pauschal Betragsstriche setzen und dann Lösungen überprüfen, um zu sehen ob die Betragsstriche sinnvoll waren erscheint mir "falsch" und unnötig. Das ist für mich so, als würde ich mir einfach zig Lösungen ausdenken und diese dann in die Funktion einsetzen, um zu schauen ob sie stimmen.

Die Person meinte, es gebe wohl vier Fälle, an denen man das festmachen kann.

Wie dem auch sei. Es geht mir wirklich um die mathematisch korrekte Herangehensweise, um zu sehen, ob Betragsstriche nötig sind, ohne die Lösung dann noch zu überprüfen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dreh- und Angelpunkt ist die Frage, wann man eine Potenz mit reellen Zahlen als definiert ansieht:

1) Für gibt es keine Probleme, da sind alle reellen erlaubt.

2) Für sind nur erlaubt.

3) Für sind alle ganzzahligen Exponenten erlaubt. Hier gilt dann insbesondere

.


Es gibt bisweilen auch noch die Auffassung, dass folgendes erlaubt ist:

4) Für und alle rationalen Exponenten mit ungeradem . (Allerdings begibt man sich mit 4) ein wenig auf Glatteis, deswegen möchte ich das hier mal ausklammern.)


In allen anderen bisher nicht genannten Kombination für ist die Potenz nicht definiert, zumindest nicht im reellen.



Bezogen auf dein würde man also im Lichte dieser Potenzdefinitionsbereiche so vorgehen:

1.Fall: , also .

Mit Ausnahme von kann man dann die Gleichung zur Potenz erheben und erhält mit Lösung .

Ausnahmefall direkt eingesetzt ergibt mit eine wahre Aussage, also ist auch Lösung.


1.Fall: , also .

Hier muss zur Definition der Potenz auch der Exponent ganzzahlig sein. Damit die Potenz einen positiven Wert hat, muss in dem Fall dann eine gerade Zahl sein, was gleichbedeutend damit ist, dass und damit auch eine ganze Zahl ist. In dem Fall ist dann tatsächlich , was nach erneuter Potenzierung mit zu führt, was in Anbetrachtung der Fallbedingung und damit bedeutet. Da das eine ganze Zahl ist, ist es dann tatsächlich auch Lösung der Gleichung.
Whitis Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, tut mir Leid, dass meine Reaktion so spät kommt.


Ich danke dir sehr HAL 9000, dass du so ausführlich geantwortet hast.

Es geht mir aber insbesondere um deinen vierten Fall.
Wieso begibt man sich dabei aufs Glatteis?

Wie ich die Beispiele auf "herkömmlichen" Weg rechne weiß ich. Ich führte die nur an, damit mir gezeigt wird, wie ich die Notwendigkeit von Beträgen sofort sehe, ohne die zweite Lösung in die Ursprungsgleichung wieder erinsetzen zu müssen (unter der Voraussetzung, dass rationale Exponenten mit ungeradem Nenner erlaubt sind).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Whitis
Wieso begibt man sich dabei aufs Glatteis?

Weil man beim Rechnen mit derlei Potenzen beachten muss, dass die herkömmlichen Potenzregeln wie etwa nur noch mit Einschränkungen gelten.

Beispiel:

Da ist , aber laut 4).


Die vorliegende Gleichung hat aber selbst unter Hinzunahme von 4) keine weiteren Lösungen.

----------------

Diese deine immer wieder vorgebrachte "Notwendigkeit" von Beträgen ist mir suspekt. Es ist nur so, dass man zum Zwecke der Umformung - etwa mit den Potenzgesetzen - mit 1) auf der sicheren Seite ist, und daher nach Möglichkeit positive Basen anstrebt. Dazu setzt man aber nicht willkürlich einfach Beträge rein, sondern wohlbegründet wie hier

Zitat:
Original von HAL 9000
3) Für sind alle ganzzahligen Exponenten erlaubt. Hier gilt dann insbesondere

.
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »