Richtungsfelder und Steigung

17.11.2016, 11:11

lissy1234567

Richtungsfelder und Steigung

Meine Frage:
Hey,

Ich wollte gerne wissen, wie es möglich ist, dass z.B. eine geschlossene Kurve als Richtungsfeld entsteht?
Man trägt doch bei einer DGL, um ein solches Feld entstehen zu lassen, an jedem Punkt die Steigung in diesem Punkt ab. Eine Steigung ist entweder positiv, 0 oder negativ, d.h. wenn ich die Steigung eintrage, dann bekomme ich Richtungspfeile nach rechts oben/unten/mitte, wie auch immer.

Meine Ideen:
Damit eine geschlossene Kurve entsteht, muss es allerdings auch Pfeile nach links oben/unten geben...wie ist das möglich? Wie lautet die Abbildungsvorschrift?

Ich habe auch gelesen, dass die erste Komponente eines RF normiert sein muss, bin total verwirrt !

Danke für die Aufklärung smile

Bin Anfänger in diesem Gebiet Big Laugh

lissy

17.11.2016, 13:26

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Richtungsfelder und Steigung
Es gibt unterschiedliche Arten von Richtungsfeldern! Ich benutze mal die Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ als unabhängige Variable, aber die Sache funktioniert genau so, wenn $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nicht die Bedeutung einer Zeit hat.

Eine Art von Richtungsfeld kann man für einfache gewöhnliche Differentialgleichungen

$\begin{eqnarray*} \dot y=f(t,y) \end{eqnarray*}$

zeichnen. Zeichenebene ist die $\begin{eqnarray*} (t,y) \end{eqnarray*}$ -Ebene. In jeden Punkt der Ebene kann man einen Richtungsvektor mit der Steigung $\begin{eqnarray*} \dot y \end{eqnarray*}$ zeichnen. Dabei benutzt man einen konstanten, üblicherweisen positiven, Zuwachs $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ . Dann können die Richtungsvektoren nur nach rechts zeigen. Verbindet man die Richtungsvektoren durch Kurven, sind das näherungsweise Lösungskurven der obigen Differentialgleichung.

Eine etwas andere Art von Richtungsfeldern kann man für ein DGL-System der Form

$\begin{eqnarray*} \dot y_1=f(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot y_2=g(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$

zeichnen. Die Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hängen nicht explizit von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ab. Zeichenebene ist hier die $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ -Ebene. In jeden Punkt der Ebene kann man eine Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} (\dot y_1, \dot y_2) \end{eqnarray*}$ zeichnen. Diese Richtungsvektoren können in jede beliebige Richtung zeigen. Verbindet man diese Richtungsvektoren durch Kurven, erhält man näherungsweise Trajektorien der Lösungen in der $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ -Ebene. Diese Trajektorien geben nur indirekt über die Länge der Richtungsvektoren einen Eindruck über die Zeitabhängigkeit der Lösungen. Diese Trajektorien können auch geschlossene Kurven ergeben.

18.11.2016, 13:00

lissy1234567

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Richtungsfelder und Steigung
Okay vielen Dank, das ergibt Aufschluss über so einige Fragen Big Laugh

Ich habe gelesen, dass im Gegensatz zu einem Vektorfeld so ein Richtungsfeld normiert werden muss??

18.11.2016, 13:21

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Richtungsfelder und Steigung
Du meinst offenbar die erste von mir beschriebene Art von Richtungsfeld. Dazu schrieb ich:

Zitat:

Dabei benutzt man einen konstanten, üblicherweisen positiven, Zuwachs $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ .

Die Normierung entsteht durch den konstanten Zuwachs. Die waagrechte oder t-Komponente des Richtungsvektors ist immer gleich groß. Sonst wären die Vektoren an verschiedenen Stellen nicht der Größe nach vergleichbar.

Bei der zweiten Art von Richtungsfeld benutzt man natürlich auch konstante Zuwächse $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ , um die Richtungsvektoren der Größe nach vergleichbar zu machen. Da aber jetzt beide Komponenten des Richtungsvektors in allgemeiner Form von $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ abhängen, ist der Richtungsvektor nicht mehr bezüglich einer der beiden Komponenten normiert.

Neue Frage »

Antworten »

Richtungsfelder und Steigung

Verwandte Themen