Inversionsmethode - Benford-Verteilung

17.11.2016, 17:57

dw1234

Inversionsmethode - Benford-Verteilung

Meine Frage:
Hallo kann mir bitte jemand erklären,wie ich die Inversionsmethode bei der der Benford-verteilung anwenden kann?

Viele grüße

Meine Ideen:
...

18.11.2016, 09:22

HAL 9000

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Erstmal nachschauen, was denn da so nach einem mir bisher unbekannten Herrn Bedford benannt wurde: https://de.wikipedia.org/wiki/Benfordsches_Gesetz

Du willst also Verteilung

$\begin{align*} P(X=d)=\log_B(d+1)-\log_B(d) \end{align*}$ für $\begin{align*} d=1,2,\ldots,B-1 \end{align*}$

(vermutlich mit B=10, also Dezimalsystem) durch Inversionsverfahren simulieren? Na das geht wie bei jeder diskreten Verteilung, zunächst mal stellen wir die Verteilungsfunktion auf

$\begin{align*} F_X(d) = P(X\leq d) = \sum_{k=1}^d P(X=d) = \log_B(d+1) \end{align*}$ für $\begin{align*} d=1,2,\ldots,B-1 \end{align*}$ .

Und jetzt Inversionsmethode: Auswürfeln einer Zufallszahl $\begin{align*} u \end{align*}$ (d.h. (0,1)-stetig-gleichverteilt) und dann bestimmung des kleinsten $\begin{align*} d \end{align*}$ mit $\begin{align*} F_X(d) = \log_B(d+1) \geq u \end{align*}$ , umgestellt $\begin{align*} d+1\geq B^u \end{align*}$ , also $\begin{align*} d= \left\lceil B^u\right\rceil -1 = \left\lfloor B^u \right\rfloor \end{align*}$ für f.a. $\begin{align*} u \end{align*}$ .

21.11.2016, 14:19

dw1234

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Vielen Dank für deine Hilfe.
Was ist denn dein Ergebnis für das Gesetz von Benford hinsichtlich der führenden Ziffer mit folgender Verteilungsfunktion?

P(D1=d1)=log10(1+d−11), d∈{1, 2, …, 9}

Viele Grüße

21.11.2016, 14:23

HAL 9000

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Ich bin heute langsam des Ratens müde. Also bitte nochmal verständlich.

21.11.2016, 14:33

dw1234

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OK,
mein Fehler. Du hast es super erklärt. Vielen Dank! Was ich noch nicht ganz verstehe ist: Wie machst du weiter, damit du die erste Zufallszahl erhältst?
B=9, weil die die erste Stelle nur von den Ziffern 1-9 besetzt werden kann.

Viele Grüße

21.11.2016, 14:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von dw1234
Wie machst du weiter, damit du die erste Zufallszahl erhältst?

Inwieweit soll ich "weiter" machen, wo ich doch oben schon alles erklärt habe:

Zitat:

Original von HAL 9000
Auswürfeln einer Zufallszahl $\begin{align*} u \end{align*}$ (d.h. (0,1)-stetig-gleichverteilt) [...] $\begin{align*} d= \left\lfloor B^u \right\rfloor \end{align*}$

Einfacher geht's doch kaum.

Zitat:

Original von dw1234
B=9, weil die die erste Stelle nur von den Ziffern 1-9 besetzt werden kann.

Ich hatte angenommen, wir sind im Dezimalsystem, und da ist nicht $\begin{align*} B=9 \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} B=10 \end{align*}$ . Das Verfahren liefert führende Ziffern im Bereich $\begin{align*} 1,2,\ldots,B-1 \end{align*}$ .

21.11.2016, 14:51

dw1234

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könntest du mir bitte dann nochmal genau (iditoensicher) erklären, wie ich hier die inversionsmethode genau anwende ? ( also nur den letzten Absatz von deiner ersten Erklärung)

Danke

21.11.2016, 14:55

HAL 9000

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Nicht ohne genaue Angabe, welche konkrete Stelle da unklar ist. "Idiotensichere" Erklärungen liefere ich nicht, denn Idioten haben meiner altmodischen Auffassung nach nichts an der Hochschule zu suchen.

21.11.2016, 15:28

dw1234

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ich hab dir eine pn geschickt

21.11.2016, 15:33

HAL 9000

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In der du nochmal alles wiederholst. Fachliches bitte nur im Thread, und da bitte konkret: Ich habe oben ausführlich erklärt, wie die Verteilungsfunktion hier aufgestellt wird, dann die Inversionsmethode angewandt wird bis hin zum konkreten Ergebnis, wie aus einer Zufallszahl $\begin{align*} u\in (0,1) \end{align*}$ (wie sie vom Zufallszahlengenerator gewöhnlich geliefert wird) dann die Ziffer $\begin{align*} \left\lfloor B^u\right\rfloor \end{align*}$ generiert wird.

21.11.2016, 15:37

dw1234

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ok und was muss ich machen, um noch eine zweite Zufallszahl zu generieren?Danke

21.11.2016, 15:38

HAL 9000

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Ein anderes $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ , d.h., den Zufallszahlengenerator erneut würfeln lassen: $\begin{eqnarray*} u_1,u_2,u_3,\ldots \end{eqnarray*}$ , soviel du willst.

21.11.2016, 15:42

dw1234

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tut mir leid, ich versteh einfach nicht wie das Auswürfeln einer zufallszahl u funktioniert

21.11.2016, 15:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von dw1234
ich versteh einfach nicht wie das Auswürfeln einer zufallszahl u funktioniert

Das ist ein eigenes Thema und hat nichts mehr mit der eigentlichen Inversionsmethode zu tun: Wollen wir das wirklich hier besprechen? Jedesmal das Rad neu erfinden? unglücklich

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In Excel würde die von mir beschriebene Vorgehensweise z.B. so realisierbar sein:

=GANZZAHL(10^ZUFALLSZAHL())

und das in so vielen Zellen, wie du willst.

21.11.2016, 15:50

dw1234

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ok, ich glaube, dass wir uns evtl, missverstanden habe (war mein Fehler, weil ich die Frage nicht präzise genug formuliert habe). Ich möchte ja benfordverteilte Zufallszahlen generieren mit der Inversionsmethode.
Ich finde, dass Du es mir bis jetzt auch sehr gut erklärt hast. Aber ich versteh einfach nicht wie ich da genau vorgehen muss, um von der verteilungsfunktion ausgehend eine große Anzahl an Zufallszahlen zu generieren...

21.11.2016, 15:52

HAL 9000

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Das muss dann wohl ein anderer machen, ich gebe entnervt auf: Zu wenig Kooperation deinerseits. unglücklich

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