Sinus Hyperbolicus - Summenschreibweise hinformen

17.11.2016, 19:38

der_unkluge

Sinus Hyperbolicus - Summenschreibweise hinformen

Hi!

Wir sollen zeigen dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * (exp(x) - exp(-x)) \end{eqnarray*}$

dem Sinus Hyperbolicus, bzw. folgendem entspricht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

nun war meine erste Überlegung folgende:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} - \frac{(-x^{n})}{n!} \end{eqnarray*}$

Nachdem ich nun mehrere Seiten vollgekritzlt habe mit falschen Umformungen bin ich etwas am Verzweifeln. Habe schon versucht die einhalb reinzurechnen, sodass auf beiden Seiten im Nenner

$\begin{eqnarray*} 2n! \end{eqnarray*}$ steht...wobei ich mir selbst hier nicht sicher bin ob es $\begin{eqnarray*} (2n)! \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2*(n!) \end{eqnarray*}$ sein würde.

Aber so oder so..ich komm nicht auf die gesuchte Summennotation... hat jemand Hinweise?

17.11.2016, 19:52

MathNoob28

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (1+(-1)^n)\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

für ungerade n folgt dann die Reihe.

17.11.2016, 20:20

der_unkluge

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daraus werd ich leider grad nicht schlau unglücklich

17.11.2016, 20:40

Leopold

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$\begin{align*} p(x) = \color{red} 5 \color{black} + 3x \color{red} - 4x^2 \color{black} + 6x^3 \color{red} + 2x^4 \end{align*}$

$\begin{align*} p(-x) = 5 - 3x - 4x^2 - 6x^3 + 2x^4 \end{align*}$

$\begin{align*} p(x) + p(-x) = 10 - 8x^2 + 4x^4 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{1}{2} \left( p(x) + p(-x) \right) = \color{red} 5 - 4x^2 + 2x^4 \end{align*}$

Und wie ist das bei $\begin{align*} \frac{1}{2} \left( p(x) - p(-x) \right) \end{align*}$ ?

17.11.2016, 20:55

der_unkluge

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das sollte sein
$\begin{eqnarray*} 3x+6x^{3} \end{eqnarray*}$

Und daraus würde sich mit deinem Ergebnis dann wieder der Funktionsterm ergeben...

Andersgesagt: Ein mal bleiben die geraden (sowie die nullte) Potenz von x stehen, und einmal die Ungeraden.

Heißt das, die Summe ist in Gerade und Ungerade aufzuteilen? (2n u 2n+1 ?)

Aber warum darf ich das?

17.11.2016, 21:11

Leopold

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Ja! In gerade und ungerade aufteilen.

$\begin{align*} \operatorname{e}^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots \end{align*}$

Jetzt $\begin{align*} \operatorname{e}^{-x} \end{align*}$ bilden und zu Obigem addieren. Nach Halbieren bleiben die geraden Potenzen übrig. Das ist der Cosinus hyperbolicus. Und beim Subtrahieren und Halbieren bleiben die ungeraden Potenzen übrig. Das ist der Sinus hyperbolicus.

17.11.2016, 21:13

der_unkluge

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ah!
und darum darf ich sie aufteilen oder? Weil sich beim einen die Geraden, und beim anderen die Ungeraden quasi "aufheben" ?

Dürfte ich theoretisch auch eine Summe in gerade und ungerade aufteilen, wenn es keinen "Vorzeichenwechsel" innerhalb der Summe gäbe?

Danke jedenfalls!

17.11.2016, 21:21

Leopold

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Zitat:

Original von der_unkluge
Dürfte ich theoretisch auch eine Summe in gerade und ungerade aufteilen, wenn es keinen "Vorzeichenwechsel" innerhalb der Summe gäbe?

Das verstehe ich nicht. Du darfst jede Summe aufteilen, wie du willst. Aber hier geht es doch darum, daß das Aufteilen in gerade und ungerade Potenzen durch einen rechnerischen Ausdruck mit der Exponentialfunktion durchgeführt wird.

Vielleicht ist aber auch dein Problem ein ganz anderes. Schreib doch einmal die Summe für den Sinus hyperbolicus ohne Summenzeichen, damit du einmal richtig siehst, wie die ausschaut.

17.11.2016, 22:42

der_unkluge

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Ich bin mir nicht sicher wie du das meinst?
So?

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x}-1}{2e^{x}} \end{eqnarray*}$

Die Frage die ich hatte war, dass ich das doch nicht immer aufteilen kann.
Ich könnte ja zB nicht schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{3}{k} = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{3}{2k} + \frac{3}{2k+1} \end{eqnarray*}$

Edit:
Also ich tu mir etwas schwer, warum das bei der Sinus Hyperbolicus erlaubt ist.
Ich habs aufgeschrieben, bzw aufgeteilt - ich komm auch auf das gewünschte ergebnis, aber ich versteh nicht ganz warum das "okay" ist.

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