Vereinigung von Mengen

17.11.2016, 20:11

Pippen

Vereinigung von Mengen

Normalerweise wird die Vereinigung von Mengen immer an Babybeispielen erläutert, zB A = {1,2,3} und B = {4} vereinigt sich zu A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B = {1,2,3,4}. Was ist aber die Vereinigung von A = {{1,2}, {3}, 3, 4} und B = {{}}?

Intuitiv würde ich ja sagen: A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B = {{1,2}, {3}, 3, 4, {}}. Aber wenn ich die Vereinigung aufgrund ZFC richtig verstehe dann müsste gelten: A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B = {1,2,3,4,{}}. Was von Beiden ist korrekt? Und wenn nur die letzte Variante korrekt wäre, was wäre dann die erste - totaler Bogus o. irgendwas Sinnvolles?

17.11.2016, 21:40

Elvis

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Was Du intuitiv nennst, ist richtig. Auch bei jeder axiomatischen Mengenlehre kann nichts anderes richtig sein.

17.11.2016, 22:46

Pippen

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Ich sehe mir grad eine Vorlesung über Mengenlehre an und da wird zB A = {{1,2}, {3,4}} vereinigt zu UA = {1,2,3,4}. Auch das Vereinigungsaxiom klingt so, als ob man eben nicht nur die Elemente der Mengen zusammenlegt, wenn sie Mengen sind, sondern dann deren Elemente zusammennimmt.

Falls es was bringt: https://www.youtube.com/watch?v=op3WZRUKk_k, dann dort ab 21:00.

17.11.2016, 23:00

Guppi12

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Zitat:

Ich sehe mir grad eine Vorlesung über Mengenlehre an und da wird zB A = {{1,2}, {3,4}} vereinigt zu UA = {1,2,3,4}

Das ist auch richtig, aber du verwechselst hier zwei Dinge. Einmal das einstellige Vereinigungssymbol: Diese erwartet nur eine Menge als Eingabe. Hier ist $\begin{eqnarray*} \bigcup C \end{eqnarray*}$ jene Menge, die aus allen Elementen besteht, die in den Mengen liegen, die Elemente von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ sind. Das heißt es ist $\begin{eqnarray*} x\in \bigcup C \end{eqnarray*}$ genau dann wenn, es eine Menge $\begin{eqnarray*} M\in C \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ .

Andererseits gibt es das zweistellige Vereinigungssymbol $\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ . Dies ist, bezugnehmend auf das einstellige Vereignigungsssymbol, definiert als $\begin{eqnarray*} A\cup B := \bigcup \{A,B\} \end{eqnarray*}$ und besteht damit genau aus den Elementen, die in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen oder in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ liegen.

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