Abbildung der komplexen Zahlen auf Injektivität/Surjektivität prüfen

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18.11.2016, 16:06	benja-min	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung der komplexen Zahlen auf Injektivität/Surjektivität prüfen Meine Frage: Die Abbildung $\begin{eqnarray} f : \mathbb C \rightarrow \mathbb C, z \mapsto f(z) = \bar{z} \end{eqnarray}$ ist auf Injektivitär und Surjektivität zu überprüfen. Meine Ideen: Logisch gesehen ist die Abbildung sowohl injektiv als auch surjektiv, da es ja nur die spiegelung an der Reelen Achse ist. Aber wie schreibe ich das richtig auf? Reicht es bezüglich der Surjekivität, wenn ich schreibe, das wenn $\begin{eqnarray} f(z) = \bar{z} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f(\bar{z}) = z \end{eqnarray}$
18.11.2016, 19:46	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ihr die Aussage $\begin{eqnarray} \overline{\overline{z}}=z \end{eqnarray}$ schon beweisen habt, dann ja. Ansonsten würde ich über die Darstellung $\begin{eqnarray} z=a+ib \end{eqnarray}$ gehen.
18.11.2016, 20:27	benja-min	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo habe ich behauptet dass $\begin{eqnarray} z=\bar{z} \end{eqnarray}$ gilt. Ich habe gesagt, dass wenn alle komplexe zahlen auf ihre konjugierte Form abgebildet werden können, dann kann auch die konjugierte form auf die Ausgangsform abgebildet werden kann, da diese ja auch eine Ausgangsform sein kann. (wirde ja nur gespiegelt) oder habe ich die Abbildung falsch verstanden???
18.11.2016, 21:15	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung der komplexen Zahlen auf Injektivität/Surjektivität prüfen Du hast doch behauptet, dass $\begin{eqnarray} f(\bar{z}) = z \end{eqnarray}$ . Oder hab ich Dich missverstanden? Nach Definition der Funktion ist aber $\begin{eqnarray} f(\bar{z})=\bar{\bar{z}} \end{eqnarray}$
18.11.2016, 21:29	benja-min	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung der komplexen Zahlen auf Injektivität/Surjektivität prüfen meine Behauptung an einem Beispiel z = 3 + 4i dann ist $\begin{eqnarray} f(z) = \bar{z} \end{eqnarray}$ also: f(3 + 4i) = 3 - 4i und $\begin{eqnarray} f(\bar{z}) = z \end{eqnarray}$ also: f(3 - 4i) = 3 + 4i kann man dadurch zeigen, das alle Elemente der Zielmenge (also alle komplexen Zahlen) abgedeckt werden? oder hast du eine Idee wie man das zeigen könnte?
19.11.2016, 09:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich hast du alles richtig gemacht. Das Problem ist nur, daß du die Beziehung $\begin{align} \overline{\overline{z}} = z \end{align}$ unterstellst (beachte die zwei (!) Querstriche). Darauf wollte Helferlein dich hinweisen. Wenn du also zuvor begründest, warum $\begin{align} \overline{\overline{z}} = z \end{align}$ gilt, was letztlich eine Trivialität ist, dann ist dein Nachweis voll gültig.
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19.11.2016, 09:39	benja-min	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, verstanden. Kann mir noch jemand einen Tipp geben wie ich die Injektivität nachweisen könnte?
19.11.2016, 10:31	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie immer: Ausgehend von $\begin{eqnarray} f(z_1)=f(z_2) \end{eqnarray}$ musst Du zeigen, dass $\begin{eqnarray} z_1=z_2 \end{eqnarray}$
19.11.2016, 11:48	benja-min	Auf diesen Beitrag antworten »
wie immer ist gut ;D ich hab es ja noch nie gemacht. Ich versteh die theorie, aber wie soll ich denn zeigen, das es immer so ist. Ich könnte ja nur zeigen, dass es nicht so ist wenn mir ein Gegenbeispiel einfallen würde. So würde mir nur einfallen dass ich wieder ein Beispiel nehme: z = 3 + 4i und f(z) = 3 - 4i und einfach behaupte das es keine zwei z zu diesem f(z) gibt???
19.11.2016, 12:25	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann Dir nur wieder den Rat geben das ganze für z=a+ib aufzuschreiben.
19.11.2016, 13:03	benja-min	Auf diesen Beitrag antworten »
ok aber was ist z1 bzw. z2 (was ist der unterschied)? bei einer normalen Funktion hätte ich ja zum Beispiel f(x) = x + 3 und würde einsetzten: f(x1) = f(x2) x1 + 3 = x2 + 3 x1 = x2 aber bei meiner Aufgabe: z1= 3 + 4i f(z1) = 3 - 4i z2= 3 + 4i f(z2) = 3 -4i f(z1) = f(z2) 3 - 4i = 3 - 4i ... macht irgendwie kein Sinn und auf z1=z2 komme ich dadurch auch nicht durch umstellen.
19.11.2016, 14:04	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du scheinst noch nicht verstanden zu haben,dass Du einen Beweis niemals mit einem Beispiel führen ksnnst. Du musst immer die Gesamtheit nehmen. Nur weil 2+2=22 ist,gilt noch lange nicht nn=2n für beliebige Zahlen n. Du musst schon mit z1=a+ib und z2=c+id argumentieren.
19.11.2016, 14:15	benja-min	Auf diesen Beitrag antworten »
doch wusste ich schon ich hab jetzt alles verstanden (manchmal ist die Lösung scheinbar zu einfach um sie zu sehen) Danke für die Geduld

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