Restklassen - Seite 2

21.11.2016, 12:12

Elvis

Richtig: Körper haben keine Nullteiler, weil sonst nicht alle Elemente außer 0 invertierbar wären.
Falsch: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ hat Nullteiler.

21.11.2016, 12:16

Felix1109

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$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

21.11.2016, 12:37

Elvis

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Ja, hat im allgemeinen Nullteiler. Genau darum geht es in der Aufgabe.

21.11.2016, 12:39

Felix1109

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Die Aufgabe war doch, ein analoges Bsp. für $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_p/0, \cdot) \end{eqnarray*}$ ist abelsche Gruppe zu finden. Und mein $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ ist doch nur eine abelsche Gruppe, wenn $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ wohldefiniert ist. Und damit dies erfüllt ist, darf es keine Nullteiler geben.

21.11.2016, 12:41

Elvis

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Ja, und ... wer sagt denn, dass sie invertierbar sind ? Betrachte z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{10} \end{eqnarray*}$

21.11.2016, 12:57

Felix1109

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der ggT?

21.11.2016, 12:59

Elvis

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Hör auf zu schummeln. Du sollst $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{10} \end{eqnarray*}$ aufschreiben, als Menge und mit Produkten der Elemente. (Ich hoffe, dass Du wenigstens weißt, wie man die Summen berechnet, wenn nicht, mach das auch noch.) Arbeite und lerne ! Das sind nur 200 Rechenoperationen für Grundschüler, was hindert dich am rechnen ?

21.11.2016, 13:09

Felix1109

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$\begin{eqnarray*} \mathbb Z10=\left\{ 0+10\cdot \mathbb Z, 1+10\cdot \mathbb Z , 2+10\cdot \mathbb Z , 3+10\cdot \mathbb Z , 4+10\cdot \mathbb Z, 5+10\cdot \mathbb Z, 6+10\cdot \mathbb Z , 7+10\cdot \mathbb Z, 8+10\cdot \mathbb Z , 9+10\cdot \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$

für ggT=1 $\begin{eqnarray*} a\in \left\{ 1,3,7,9\right\} \end{eqnarray*}$
für [a]*[b]=[1] $\begin{eqnarray*} b\in \left\{ 1,7,3,9\right\} \end{eqnarray*}$

21.11.2016, 13:15

Elvis

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Ganz falsch.
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z10=10\mathbb Z=\{10\cdot k:k\in\mathbb Z\}=\{...-30,-20,-10,0,10,20,30,...\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{10}=\mathbb Z/10\mathbb Z=\{\overline a:0\le a\le9\} \end{eqnarray*}$
Wo sind die 200 Rechenoperationen ?

21.11.2016, 18:16

Felix1109

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* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
3 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7
4 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6
5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5
6 0 6 2 8 4 0 6 2 8 4
7 0 7 4 1 8 5 2 9 6 3
8 0 8 6 4 2 0 8 6 4 2
9 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
3 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
4 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
5 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4
6 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5
7 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6
8 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7
9 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8

21.11.2016, 18:17

Elvis

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Ist das etwa nullteilerfrei ?

21.11.2016, 18:17

Felix1109

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nein
sry, das ich vorhin einfach gegangen bin. Hab Zeit vergessen und musste zu Uni rennen.

21.11.2016, 18:22

Felix1109

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Also muss m jetzt eine Primzahl sein, damit ich keine Nullteiler bekomme?

21.11.2016, 18:49

Felix1109

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21.11.2016, 19:48

Elvis

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Ist es unter deiner Würde, die Aufgabe durchzulesen ? Ich helfe gerne, aber ich bin kein Vorleser. Mach auch mal etwas konstruktives.

21.11.2016, 19:56

Felix1109

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Nein es ist nicht unter meiner Würde, also muss m jetzt eine Primzahl sein. Ich bin nur von den lin.Algebra HA´s im allgemeinen verwirrt, weil wir in den Vorlesungen immer nur von Vektorräumen reden, aber in den HA´s noch NIE eine Aufgabe dazu hatten... Und die Aufgabe doch auch wieder...das ist doch eher normale Algebra, als lineare -.-

Edit: Ok, gut. In der ersten Woche hatten wir auch Gruppen/Ringe/Körper

21.11.2016, 20:13

Felix1109

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Ich probiere es nochmal:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

eine Restklasse $\begin{eqnarray*} [a]\in \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ ist nur dann invertierbar, wenn $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist, da es anderenfalls zur Bildung von Nullteilern kommen würde. Diese wiederum würden bewirken, dass nicht alle Elemente invertierbar wären.

Da $\begin{eqnarray*} a\in \left\{ 1,2,...,m-1\right\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist (welche nur sich selbst und Eins als Teiler haben), folgt daraus, das der $\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=1 \end{eqnarray*}$ ist!

21.11.2016, 21:39

Elvis

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Warum probierst Du nicht, was ich dir vorschlage ? Du musst die Aufgabe lesen, sonst weißt Du nicht, worum es geht. Du redest nur am Problem vorbei statt es anzupacken.

21.11.2016, 21:47

Felix1109

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$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_m, \cdot) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist nur eine Gruppe, wenn $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist, da ansonsten die Verknüpfung nicht wohldefiniert wäre. d.h. nicht alle Elemente wären invertierbar, was aber einem der Gruppenaxiome wiedersprechen würde.

22.11.2016, 09:22

Elvis

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Du musst die Aufgabe lesen, sonst weißt Du nicht, worum es geht. Du redest nur am Problem vorbei statt es anzupacken.

22.11.2016, 09:37

Felix1109

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$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_m,\cdot ) \end{eqnarray*}$ ist genau dann eine abelsche Gruppe, für beliebige $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , wenn für alle Restklassen $\begin{eqnarray*} \bar{a} \in \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ gilt, das der $\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=1 \end{eqnarray*}$ ist, da daraus folgt, das alle Restklassen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ invertierbar werden.

22.11.2016, 10:00

Elvis

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Unfug.

Zitat:

Original von Felix1109
Ich bin nur von den lin.Algebra HA´s im allgemeinen verwirrt, weil wir in den Vorlesungen immer nur von Vektorräumen reden, aber in den HA´s noch NIE eine Aufgabe dazu hatten... Und die Aufgabe doch auch wieder...das ist doch eher normale Algebra, als lineare -.-

Edit: Ok, gut. In der ersten Woche hatten wir auch Gruppen/Ringe/Körper

Diese Bemerkung nehme ich dir richtig übel. böse

Sie ist an Arroganz und Ignoranz kaum noch zu überbieten.
Ein Vektorraum $\begin{eqnarray*} (V,K,+,\cdot_s) \end{eqnarray*}$ ist eine abelsche Gruppe $\begin{eqnarray*} (V,+) \end{eqnarray*}$ über einem Körper $\begin{eqnarray*} (K,+,\cdot) \end{eqnarray*}$ mit verträglicher Skalarmultiplikation. Worüber soll man denn in linearer Algebra, der Theorie der Vektorräume, reden wenn nicht über Gruppen und Körper ?

22.11.2016, 10:07

Felix1109

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Tut mir ja Leid, wenn du mich jetzt noch weniger leiden kannst wie vorher. Lag nicht in meiner Absicht, aber du verstehst auch was bei solchen Aufgaben zu machen ist. Ich bin im 1.Semester, bekomme pro Woche 6 solche Aufgaben in lin.A. (teils auf anderen Sprachen) und verstehe jedesmal nur Bahnhof...

Und Lerngruppen kann ich auch vergessen, weil von 23 Leuten, schon 12 aufgehört haben und es regelmäßig weniger werden.

Und das soll keine Beleidigung oder so sein! Ich seh ja ein das du es geschafft hast und was drauf hast, und ich hier der Loser bin...

22.11.2016, 11:29

Elvis

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Du bleibst solange der Loser, bis Du anfängst zu studieren. Das beginnt mit Zuhören, Lesen, Denken und Arbeiten. Die Aufgaben sind angemessen simpel, wer anfängt zu studieren (Zuhören, Lesen, Denken und Arbeiten !) kann sie lösen. Wenn nicht, liegt es nicht an den Aufgaben oder an anderen Leuten.

Letzte Chance: Lies die Aufgabe durch und schreibe sie vollständig, richtig und im Klartext hier hin. Dann reden wir weiter. Lesen und schreiben ist eine notwendige Voraussetzung für jedes Studium.

22.11.2016, 13:40

Felix1109

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a)
$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_p ohne \left\{ 0\right\}, \cdot) \end{eqnarray*}$ ist eine abelsche Gruppe genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist. Nun wollen wir ein analoges Ergebnis für $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ zeigen. Beweisen Sie:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \bar{a} \in \mathbb Z_m, : \exists \bar{b} \in \mathbb Z/m \mathbb Z: \bar{a} \cdot \bar{b}=\bar{1}\right\}= \left\{\bar{a} \in \mathbb Z_m, : 0<a<m, ggT(a,m)=1 \right\} \end{eqnarray*}$

b)
Zeigen Sie, dass die Menge $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_m)^*=\left\{\bar{a} \in \mathbb Z_m, : 0<a<m, ggT(a,m)=1 \right\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe bzgl. der Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ ist. Sie heißt die Einheitengruppe des Ringes $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_m, +, \cdot) \end{eqnarray*}$ .

Trotzdem geh ich zu allen Vorlesungen, Übungen, lerne die Skripte, beschäftige mich mit den HA´s und das jeden Tag von 8 bis 0 Uhr und bekomme nichts hin! (und das ist mein Ernst)

22.11.2016, 13:46

Elvis

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Warum schaffst Du es nicht, diese Aufgabe ordentlich, vollständig und leserlich zu schreiben ? Du musst nur begreifen, wie der Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ und der Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ definiert sind. Das kann nicht klappen, wenn Du Schreibfehler machst und dadurch das Verständnis erschwerst.

22.11.2016, 13:49

Felix1109

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bis auf das *ohne hab ich alles 1 zu 1 abgeschrieben, wie es in der Aufgabe vor mir liegt, und das ohne hab ich blos rein gemacht, weil ich den \ nicht mit Latex hinbekommen habe.

22.11.2016, 13:51

Elvis

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Du hast es auch noch nicht geschafft, bereits erworbenes Wissen über den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ und die Aufgabe voneinander zu trennen. Was weißt Du oder solltest Du wissen ? Was ist die Aufgabe ? Mit welcher algebraischen Struktur befasst sich die Aufgabe ? Was sind die wesentlichen Behauptungen der Aufgabe ? Wie beweist man diese im allgemeinen und im besonderen ? Warum stellst Du dir nicht selbst solche Fragen ?

Was, glaubst Du, ist der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/m\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

22.11.2016, 13:52

Felix1109

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Die selben Fragen hab ich mir auch die ganze Zeit gestellt, aber das heißt noch lange nicht, das ich die Antworten dazu kenne.

22.11.2016, 13:56

Elvis

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Wenn Du die Aufgabe sauber aufschreibst, enthält sie alle notwendigen Definitionen (!) und Behauptungen (!). Damit erklärt sie sich selbst, und Du musst dich nur noch um das bißchen Beweistechnik kümmern. Die von dir formulierte Aufgabe ist unvollständig und unordentlich.

Was soll ,: in einer Menge bedeuten ???

22.11.2016, 14:04

Felix1109

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, $\begin{eqnarray*} \vert \end{eqnarray*}$ ich wusste nicht wie ich mit Latex den Strich hin bekomme, und uns wurde gesagt das : und Strich das Selbe sind

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/ m\mathbb Z \end{eqnarray*}$ sind das selbe, stehen hier aber beide so da.

22.11.2016, 14:11

Elvis

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Tipp: vermeide redundante Schreibweisen, vermeide unklare Schreibweisen, vermeide unvollständige Schreibweisen.
Und noch einmal: Bitte schreibe die Aufgabe einmal richtig und vollständig auf. Bitte kommentiere die Aufgabe anschließend.

Warum gibst Du auf, bevor Du angefangen hast ? Wenn Du dir die Aufgabe richtig anguckst und ein bißchen umformulierst, ist sie so gut wie gelöst.

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