Restklassen

18.11.2016, 18:14

Felix1109

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Restklassen

Meine Frage:
Hallo, ich hab ein Problem mit dieser Aufgabe und würde mich über Hilfe sehr freuen.

a) $\begin{eqnarray*} \left\{ \mathbb Z_p ohne \left\{ 0\right\}, \cdot \right\} \end{eqnarray*}$ ist eine abelsche Gruppe genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist. Nun wollen wir ein analoges Ergebniss für $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ zeigen. Beweisen Sie:

$\begin{eqnarray*} \left\{ [a]\in \mathbb Z_m : \exists <b> \in \mathbb Z/ \mathbb Z_m: [a] \cdot [b]=[1]\right\} = \left\{ [a]\in \mathbb Z_m : 0<a<m, ggT(a,m)=1\right\} \end{eqnarray*}$

b)Zeigen Sie, dass die Menge $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_m)^*= \left\{ [a]\in \mathbb Z_m : 0<a<m, ggT(a,m)=1\right\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe bzgl. der Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ ist. Sie heißt Einheitengruppe des Ringes $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_m, +, \cdot ) \end{eqnarray*}$

[b]Meine Ideen:
Ich hab mich jetzt erstmal ausschließlich mit der a) beschäftigt, wobei folgendes entstanden ist:

Aus $\begin{eqnarray*} [a]=a+m \cdot \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [b]=b+m \cdot \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ergibt sich, das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ weder Teiler von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ noch von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist. Folglich ist $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ auch kein Teiler von $\begin{eqnarray*} a \cdot b \end{eqnarray*}$ .

Der Rest $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ergibt sich also aus $\begin{eqnarray*} (a \cdot b) + m \cdot \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , was bedeutet:

$\begin{eqnarray*} (a \cdot b) modulo m = 1 \end{eqnarray*}$

Das der $\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=1 \end{eqnarray*}$ ist, sagt aus, das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind. Wobei gilt:

$\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=1= k \cdot a + l \cdot m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in [b] , l \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Dies ist ebenfalls gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} (k \cdot a) modulo m =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (a \cdot b) modulo m = 1=(k \cdot a) modulo m \end{eqnarray*}$

19.11.2016, 12:06

Felix1109

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Hab mir noch einmal Gedanken gemacht:

$\begin{eqnarray*} [a]\cdot [b]=[1] \end{eqnarray*}$ bedeutet das $\begin{eqnarray*} [b] \end{eqnarray*}$ das multiplikative Inverse zu $\begin{eqnarray*} [a] \end{eqnarray*}$ ist, was sich folgendermaßen ausdrücken lässt $\begin{eqnarray*} 1\equiv _m a\cdot b+m\cdot l \end{eqnarray*}$ . Diese Inversen lassen sich durch den erweiterten euklidschen Algorithmus bestimmen, wobei ausgenutzt wird, das sich der ggT als Linearkombination darstellen lässt:

$\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=k\cdot a + l\cdot m \end{eqnarray*}$

da vorgegeben ist, das $\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=1\equiv _m k\cdot a + l\cdot m \end{eqnarray*}$

Folglich ist $\begin{eqnarray*} k=b \end{eqnarray*}$ und die gesamte Aussage ist

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow [k]\cdot[a]=[b]\cdot[a]=[1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left\{[a]\cdot [b]=[1]\right\} =\left\{ggT(a,m)=1\right\} \end{eqnarray*}$

19.11.2016, 13:01

Elvis

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Deine Gedanken sind nicht verständlich. Weil Du Siegfried Bosch "Algebra" gut und anschaulich findest, brauchst Du nur den § 2.3 "Ringhomomorphismen, Faktorringe" studieren, dann wird dein kleines Beispiel ganz einfach.

19.11.2016, 14:18

Felix1109

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Für $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb Z, m>0 \Leftrightarrow m \end{eqnarray*}$ ist eine Primzahl. Gilt jetzt

$\begin{eqnarray*} [a]\cdot [b] =[1] \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ weder Teiler von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ noch von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \frac{a\cdot b}{m} \end{eqnarray*}$ den Rest
$\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ergibt. (Also ist $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ nur Teiler von $\begin{eqnarray*} a\cdot b - 1 \end{eqnarray*}$ )

Dies bedeutet, das $\begin{eqnarray*} m,a \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind. Und nach Definition von Teilerfremdheit gilt: $\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ der Einzigste Teiler ist, den sowohl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ gemeinsam haben.

Nur mal so am Rande $\begin{eqnarray*} \bar{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [a] \end{eqnarray*}$ sind das selbe oder?

19.11.2016, 17:17

Felix1109

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$\begin{eqnarray*} \bar{a} \cdot \bar{b}=\bar{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 1\equiv _ma\cdot b + m\cdot \mathbb Z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a\cdot b \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = 1 \end{eqnarray*}$

Der größte gemeinsame Teiler von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ läßt sich nun wiefolgt ausdrücken:

$\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=1\equiv_m k\cdot a + l\cdot m \end{eqnarray*}$

Daraus läßt sich entnehmen, das $\begin{eqnarray*} k=b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist.

Demnach gilt ebenfalls: $\begin{eqnarray*} a\cdot k \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = 1 \end{eqnarray*}$

Zusammenfassend läßt sich also sagen, dass:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \bar{a} \cdot \bar{b}=\bar{1}\right\} =\left\{ ggT(a,m)=1\right\} \end{eqnarray*}$

Des weiteren kann man hinzufügen, das aus $\begin{eqnarray*} \bar{a} \cdot \bar{b}=\bar{1} \end{eqnarray*}$ folgt, das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ sowohl zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als auch zu $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ teilerfremd ist, da $\begin{eqnarray*} \frac{a\cdot b}{m} \end{eqnarray*}$ den Rest $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ergibt. Und aus der Teilerfremdheit zweier Zahlen folgt immer, das der $\begin{eqnarray*} ggT \end{eqnarray*}$ dieser Zahlen gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist, was er auch in unserem Falle mit $\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=1 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

20.11.2016, 10:23

Elvis

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Deine Schreibweisen sind uneinheitlich, man kann nicht ausschließen, das manches davon sinnvoll ist. Ich erkenne aber keinen Beweis, ich erkenne immer wieder nur Behauptungen und Formeln. Ein Beweis muss mit unbezweifelbaren Aussagen (Axiomen, Definitionen, bewiesenen Sätzen) beginnen und durch logisches Schließen die Wahrheit von neuen Aussagen zumindest plausibel machen, im Idealfall sind die neuen Aussagen dann ebenfalls unbezweifelbar. Zusätzlich zu Formeln, die durch logische Operatoren (i.a. die Implikation) verbunden sind, benötigt der Leser einsehbare verbale Hinweise.

Mit anderen Worten: Was willst Du beweisen ? Wo ist dein Beweis ?

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20.11.2016, 11:19

Felix1109

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Zu beweisen ist:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \bar{a} \in \mathbb Z_m : \exists \bar{b} \in \mathbb Z/\mathbb Z_m: \bar{a}\cdot \bar{b}=\bar{1}\right\} = \left\{ \bar{a} \in \mathbb Z_m : 0<a<m, ggT(a,m)=1\right\} \end{eqnarray*}$

Nach Satz 6 für Faktorringe gilt:

Für $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z,m>0 \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ist Primzahl

Diese Bedingung ist gegeben und nun gilt zusätzlich noch $\begin{eqnarray*} \bar{a}\cdot \bar{b}=\bar{1} \end{eqnarray*}$ für zwei Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Diese Aussage ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} 1\equiv_m a\cdot b +m\cdot \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bzw.
$\begin{eqnarray*} a\cdot b \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$

Unter Benutzung der Primfaktorzerlegung läßt sich nun nachweißen, das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ weder Teiler von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ noch von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist, da $\begin{eqnarray*} \frac{a\cdot b}{m} \end{eqnarray*}$ den Rest $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ergibt. Kurzum: $\begin{eqnarray*} a,b,m \end{eqnarray*}$ sind teilerfremd!

Nach Definition von Teilerfremdheit, sind zwei Zahlen teilerfremd, wenn es keine nat. Zahl außer Eins gibt die diese teilt.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ggT(a,m)=1 \end{eqnarray*}$

Somit gilt:

$\begin{eqnarray*} \left\{ a\cdot b mod m = 1\right\}=\left\{ ggT(a,m)=1\right\} \end{eqnarray*}$

...was zu zeigen war.

20.11.2016, 12:54

Elvis

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" $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/\mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ " gibt es nicht.
m ist eine natürliche Zahl, nicht notwendig eine Primzahl.
" $\begin{eqnarray*} 1\equiv_m a\cdot b +m\cdot \mathbb Z \end{eqnarray*}$ " ist keine zulässige Schreibweise.
"Unter Benutzung der Primfaktorzerlegung läßt sich nun nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ weder Teiler von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ noch von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist, da $\begin{eqnarray*} \frac{a\cdot b}{m} \end{eqnarray*}$ den Rest $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ergibt." Wo weist Du das nach ?
Bedenke auch, dass in der linken Menge Klassen stehen, in der rechten Menge nur Klassen mit speziellen Vertretern. Du gehst nirgends auf die Probleme ein, die in dieser Aufgabe stecken.
Wenn Du es richtig machst, gibt das vielleicht den Beweis, dass die linke in der rechten Menge enthalten ist. Du willst aber die Gleichheit beider Mengen beweisen, das machst Du aber nicht.

20.11.2016, 13:21

Felix1109

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Aber wenn jetzt $\begin{eqnarray*} \bar{a} \in \mathbb Z_m:0<a<m, ggT(a,m)=1 \end{eqnarray*}$ heißt das doch: $\begin{eqnarray*} \bar{a}=a\cdot b+ m\cdot \mathbb Z \end{eqnarray*}$

bedeutet das dann nicht, das:

$\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=1\equiv_ma\cdot k + m\cdot l \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k=b, l\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\cdot k \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \bar{a} = \bar{1} \end{eqnarray*}$ ?

20.11.2016, 13:25

Elvis

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Ich verstehe dich nicht.

20.11.2016, 13:27

Felix1109

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Da sind wir schon zu zweit.

20.11.2016, 13:43

Felix1109

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Nochmal ganz ruhig, dann muss ich erstmal meine Fehler am Anfang suchen:

Ich muss das hier beweisen:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \bar{a} \in \mathbb Z_m, :\exists \bar{b} \in \mathbb Z/m \mathbb Z: \bar{a}\cdot \bar{b}=\bar{1}\right\} = \left\{ \bar{a} \in \mathbb Z_m: 0<a<m, ggT(a,m)=1\right\} \end{eqnarray*}$

Ich dachte eigentlich, das in der rechten Menge prime Restklassen sind, weil durch die Vorrausetzung das der $\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=1 \end{eqnarray*}$ ist, ja die Eins der einzige Teiler von $\begin{eqnarray*} a,m \end{eqnarray*}$ ist und sie somit teilerfremd sind (prim).

Ich bin davon ausgegangen, das in der linken Menge auch prime Restklassen sind, da ja gegeben ist, das $\begin{eqnarray*} \bar{a}\cdot \bar{b}=\bar{1} \end{eqnarray*}$ . Ich dachte, das $\begin{eqnarray*} \bar{b} \end{eqnarray*}$ das Inverse zu $\begin{eqnarray*} \bar{a} \end{eqnarray*}$ bzgl. Multiplikation ist, weil $\begin{eqnarray*} \bar{1} \end{eqnarray*}$ dort das neutrale Element sein sollte...

20.11.2016, 14:11

Elvis

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Für m=100 ist a=33 "relativ prim" zu m, da ggT(33,100)=1, aber weder a noch m sind "prim". In der linken Menge sind tatsächlich invertierbare Klassen, in der rechten Menge sind tatsächlich relativ zu m prime Klassen.

Schreibweise: Benutze konsequent eine der beiden Schreibweisen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m=\mathbb Z/m\mathbb Z \end{eqnarray*}$

20.11.2016, 14:35

Felix1109

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Füt $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ergibt sich, dass $\begin{eqnarray*} m>1 \end{eqnarray*}$ ist. Also kann $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ nich der Nullring sein.

Gilt nun: $\begin{eqnarray*} \bar{a}\cdot \bar{b}=\bar{a\cdot b}=\bar{1} \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ kein Teiler von $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a\notin \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Rightarrow b\notin \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$

Also sind $\begin{eqnarray*} a,b,m \end{eqnarray*}$ teilerfremd bzw. "relativ prim" und es gilt:

$\begin{eqnarray*} ggT(a\cdot b,m)=1 \end{eqnarray*}$

Da der $\begin{eqnarray*} ggT(a\cdot b,m)=1 \end{eqnarray*}$ ist, folgt daraus, das auch der $\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} ggT(b,m)=1 \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Die Menge $\begin{eqnarray*} \bar{a} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=1 \end{eqnarray*}$ ist somit in der Menge $\begin{eqnarray*} \bar{a\cdot b} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ggT(a\cdot b,m)=1 \end{eqnarray*}$ enthalten!

Somit ist bewiesen, das die Mengen gleich sind.

20.11.2016, 15:40

Felix1109

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?

20.11.2016, 17:53

Elvis

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Gar nichts ist bewiesen. Warum ist m kein Teiler von a,b ? Daraus kann gar nicht folgen, dass a und b nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ liegen, Zahlen liegen sowieso nicht in der Menge der Restklassen, da liegen Restklassen darin, und selbstverständlich müssen alle Restklassen im Restklassenring liegen. "Also sind a,b,m teilerfremd ..." wieso also ? wieso, weshalb, warum ? Wo ist die Logik ? Und über die Gleichheit von Mengen hast Du nicht einmal ansatzweise eine Aussage gemacht.

Du musst wieder einmal
1. Definitionen lernen und begreifen
2. Behauptungen richtig, vollständig und sauber formulieren, in Gedanken, Worten und in Formeln
3. ordentliche Beweise führen, in Gedanken, Worten und in Formeln

20.11.2016, 18:18

Felix1109

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Ja aber $\begin{eqnarray*} \bar{1} \end{eqnarray*}$ ist doch für jedes $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ invertierbar...
Und wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} \bar{a}\cdot \bar{b}=\bar{1} \end{eqnarray*}$ habe, müssen doch folglich auch $\begin{eqnarray*} \bar{a}, \bar{b} \end{eqnarray*}$ invertierbar sein...(lt. Definition ist $\begin{eqnarray*} \bar{a} \end{eqnarray*}$ invertierbar, wenn dies gilt) Und eine Klasse ist nur invertierbar, wenn sie teilerfremd zu $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ist unglücklich

unglücklich

Also muss $\begin{eqnarray*} a,b,m \end{eqnarray*}$ doch teilerfremd sein...

20.11.2016, 18:30

Elvis

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Das sollst Du beweisen, nicht nur behaupten. Beispiel: warum ist $\begin{eqnarray*} \overline {33} \end{eqnarray*}$ modulo $\begin{eqnarray*} 100 \end{eqnarray*}$ invertierbar ? warum ist $\begin{eqnarray*} \overline {34} \end{eqnarray*}$ modulo $\begin{eqnarray*} 100 \end{eqnarray*}$ nicht invertierbar ? Sag jetzt bloß nicht, "weil ggT(33,100)=1 ist, ..."

20.11.2016, 18:35

Felix1109

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Weils eine inverse Restklasse für $\begin{eqnarray*} \bar{33} \end{eqnarray*}$ gibt.

z.B. $\begin{eqnarray*} \bar{33} \cdot \bar{-3}=\bar{-99} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -99 mod 100 =1 \end{eqnarray*}$

Für die zweite würde man nicht Rest 1 rausbekommen...

20.11.2016, 19:01

Elvis

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Besser : $\begin{eqnarray*} 33\cdot 97=3201\equiv 1;mod\;100 \end{eqnarray*}$ , weil wir hier im absolut kleinsten Vertretersystem rechnen bzw. rechnen wollen. Jetzt hast Du bestimmt nicht alle Restklassen 1 bis 99 ausprobiert, um eine inverse Klasse für 34 zu finden (oder nicht zu finden).

Das entscheidende ist nun aber, dass wir immer noch keinen Beweis dafür sehen, dass für JEDES natürliche m Restklassen [a] modulo m genau dann invertierbar sind, wenn ggT(a,m)=1 gilt.

Was heißt hier "genau dann wenn" ?

20.11.2016, 19:06

Felix1109

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genau dann wenn heißt,

$\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=1 \Leftrightarrow \bar{a}_m \end{eqnarray*}$ ist invertierbar.

Also [a] ist nur invertierbar, wenn der ggT(a,m)=1 ist

20.11.2016, 19:09

Elvis

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Zitat:

Original von Felix1109
genau dann wenn heißt,

$\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=1 \Leftrightarrow \bar{a}_m \end{eqnarray*}$ ist invertierbar.

Also [a] ist nur invertierbar, wenn der ggT(a,m)=1 ist

Hallo. Was heißt "genau dann wenn" ?

20.11.2016, 19:12

Felix1109

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Der Wahrheitswert der beiden Aussagen ist gleich?

--> $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

20.11.2016, 19:14

Elvis

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Konkret. Welche Aussagen ? Was ist gleich ? Was ist die Behauptung ? Was ist zu beweisen ? Was hat das mit der Aufgabe zu tun ? Was haben Mengen mit Aussagen zu tun ? .... 1000 Fragen, 0 Antworten.

20.11.2016, 19:19

Felix1109

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für jedes natürliche m gilt: Restklassen [a] modulo m sind invertierbar $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ ggT(a,m)=1

20.11.2016, 19:21

Elvis

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Was heißt das ? Wie viele Aussagen sind das ? Wo ist der Zusammenhang zwischen Aussagen und Mengen ? Wo ist der Zusammenhang mit der Aufgabe ?

20.11.2016, 19:25

Felix1109

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für jedes natürliche m gilt: Restklassen [a] modulo m sind invertierbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ggT(a,m)=1

ggT(a,m)=1 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ für jedes natürliche m gilt: Restklassen [a] modulo m sind invertierbar

Wenn ich zeig das das stimmt, wären sowohl linke als auch rechte Menge invertierbar, und hätten einen ggT(a,.m)=1... damit kann ich zeigen das sie gleich sind.

20.11.2016, 19:36

Elvis

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Du kommst der Wahrheit langsam näher. Bitte formuliere exakter, das ist deine Pflicht, und ich habe keine Lust, dir Denken und Schreiben abzunehmen.

1. Beide Aussagen mit Quantoren für jede Variable in der richtigen Reihenfolge schreiben
2. Kommentar: Mengen sind nicht invertierbar, Mengen haben keinen ggT .

Noch einmal: Wo ist der Zusammenhang zwischen den beiden Aussagen und den beiden Mengen ? Wo ist der Zusammenhang zwischen "genau dann wenn" und der Gleichheit von Mengen ? (Noch deutlicher kann ich die Frage nicht mehr stellen)

20.11.2016, 19:43

Felix1109

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für jedes natürliche m gilt: Restklassen [a] modulo m sind invertierbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ggT(a,m)=1

für jedes natürliche m gilt: Restklassen [a] modulo m sind invertierbar $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ggT(a,m)=1

Elemente der linken und der rechten Menge sind die Restklassen $\begin{eqnarray*} \bar{a}\in \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ . Wenn ich obige Aussagen beweise, wären sowohl die Elemente der linken als auch der rechten Menge invertierbar und hätten einen ggT von 1. Dadurch wären die Elemente der Mengen gleich und somit auch die Mengen an sich.

Sry, das ich nerve.

20.11.2016, 20:04

Elvis

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Langsam wird es besser.
Schon in der ersten Mathestunde lernt man, dass eine Menge durch eine Eigenschaft aus einer anderen Menge ausgesondert werden kann. Die übliche Notation ist die folgende: Sei $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ eine Menge und $\begin{eqnarray*} E(x) \end{eqnarray*}$ eine Eigenschaft, die für die Elemente $\begin{eqnarray*} x\in\Omega \end{eqnarray*}$ wahr oder falsch sein kann, dann sind " $\begin{eqnarray*} E(x)=x \end{eqnarray*}$ hat Eigenschaft $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ " und " $\begin{eqnarray*} \neg E(x)=x \end{eqnarray*}$ hat Eigenschaft $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ nicht" zwei Aussagen, von denen für jedes $\begin{eqnarray*} x\in \Omega \end{eqnarray*}$ genau eine wahr ist. Dann ist $\begin{eqnarray*} M=\{x\in\Omega: E(x)\} \end{eqnarray*}$ eine Menge. Das ist der Zusammenhang zwischen Aussagen $\begin{eqnarray*} E(x) \end{eqnarray*}$ und Mengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .
In der zweiten Mathestunde lernt man, dass eine Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Teilmenge einer Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist, in Zeichen $\begin{eqnarray*} N\subseteq M \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \forall x\in N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ . Zwei Mengen $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sind gleich, genau dann wenn $\begin{eqnarray*} N\subseteq M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \end{eqnarray*}$ gilt.

Jetzt musst Du nur noch beide Aussagen beweisen, dann weißt Du, dass beide Mengen gleich sind, und damit hast Du den allerersten und einfachsten Teil der Aufgabe gelöst.

20.11.2016, 20:58

Felix1109

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$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$

Der ggT zweier Zahlen kann folgendermaßen beschrieben werden:

$\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=t=k\cdot a +l\cdot m \end{eqnarray*}$

daraus ergibt sich bei einem ggT von 1:

$\begin{eqnarray*} [a]\cdot [k]=[1] \end{eqnarray*}$ , und nach Def. von Invertierbarkeit wäre [a] somit invertierbar.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ggT(a,m)=t=k\cdot a +l\cdot m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [a]\cdot [k]=[t] \end{eqnarray*}$ , wobei die Invertierbarkeit für [a] nur mit t=1 bewiesen wäre. Folglich muss der ggT(a,m)=1 sein.

Wäre t>1 wären a und m nicht teilerfremd, so würde es eine Zahl x geben, für die $\begin{eqnarray*} m=x\cdot t \end{eqnarray*}$ gelte.

Die Folge wäre, das $\begin{eqnarray*} [x]\cdot [a]=[0] \end{eqnarray*}$ existieren würde, womit [a] nicht invertierbar und sogar ein Nullteiler wäre.

20.11.2016, 21:57

Felix1109

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Danke übrigens wieder für die Hilfe, weiß ich zu schätzen... und mir ist klar das ich wahrscheinlich deinen Sonntag versaut habe Gott

Gott

Ich werde die nächste Aufgabe denke ich alleine versuchen und generell etwas mehr Abstand zum Matheboard nehmen!

1. Will ich die Leute nicht nerven.

2. Glaub ich es wird mir nicht großartig weiterhelfen, wenn ich mir die Lsg. von solchen Aufgaben immer von Profis wie euch vorkauen lasse... Ich muss lernen selbst darauf zu kommen, oder meine 1% Chance das Studium zu packen wird noch geringer...

20.11.2016, 22:05

Elvis

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Niemand kommt von selbst drauf, jeder muss intensiv studieren und von anderen lernen. Dazu sind Vorlesungen und Übungen da. Lerne und verstehe. Verschwende deine Zeit nicht auf Schummeln sondern arbeite ordentlich.

Dein Beweis ist immer noch falsch, wenn Du ihn abgibst, sage nicht, dass ich etwas damit zu tun habe.

20.11.2016, 22:23

Felix1109

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Fällt das hier in die Rubrik "Schummeln"???

Weil einfach hirnlos die Lösungen abgeschrieben hab ich nie, mir is ja klar das ich Mathe nur lerne, wenn ichs selber mache...

20.11.2016, 22:30

Elvis

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Hier fragen und arbeiten ist nicht Schummeln. Hier fragen und nicht arbeiten ist Schummeln.

20.11.2016, 22:37

Felix1109

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Ich hatte noch eine Idee, die ich jetzt editiert habe... Bin mir aber nicht sicher ob das stimmt und wie ich es wenn einbauen könnte.

21.11.2016, 08:34

Elvis

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Her damit. Wenn die Idee etwas taugt, helfe ich gerne weiter. Wenn nicht, habe ich noch ein Dutzend gute Ideen.

21.11.2016, 11:11

Felix1109

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Kann ich damit etwas machen?

21.11.2016, 11:20

Elvis

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Das bleibt abzuwarten ... Die Richtung $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ist akzeptabel, aber bei der Richtung $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ hast Du bislang nicht nachgedacht. Die Logik, dass aus der einen Richtung mit demselben Argument die andere Richtung folgt, ist absoluter Unsinn. Wenn dem so wäre, dann wäre ja jede Implikation eine Äquivalenz. Hier kommt das entscheidende Argument:

1. Beweise, dass jeder Körper nullteilerfrei ist. Nullteiler sind Elemente $\begin{eqnarray*} a\ne 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\ne0 \end{eqnarray*}$ aus einem Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , für die gilt $\begin{eqnarray*} a\cdot b=0 \end{eqnarray*}$ .
2. Überlege, was das für die vorliegende Aufgabe bedeutet.

21.11.2016, 11:41

Felix1109

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Für einen Körper gilt, das Axiom K2 $\begin{eqnarray*} (K/\left\{ 0\right\} ,\cdot) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe sein muss, mit neutralem Element 1 und inversen Elementen.

Hätten wir jetzt $\begin{eqnarray*} a\cdot b=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ (also Nullteiler), dann würde $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ keine Verknüpfung auf $\begin{eqnarray*} K/\left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ definieren und somit hätten wir keine abelsche Gruppe und folglich keinen Körper.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Körper muss nullteilerfrei sein.

Wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ Nullteiler hätte, wäre die Verknüpfung hier nicht wohldefiniert und die Elemente wären nicht invertierbar, da sie aber invertierbar sind, darf es keine Nullteiler geben.

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