Relationen auf Partitionen - wie zu verstehen?

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MioMioMathe Auf diesen Beitrag antworten »
Relationen auf Partitionen - wie zu verstehen?
Gegeben ist folgende Aufgabe:

Es sei eine Partition von A. Die Relation R sei definiert durch:



Zeigen Sie: R ist eine Äquivalenzrelation auf A.


Soo ich frage mich hier wie man die Relation verstehen soll..

Angenommen die Menge A sei dreielementig mit A =
Daraus folgt das A 5 Partitionen hat:

1. {{1,2,3}}
2. {{1},{2,3}}
3. {2},{3,1}}
4. {{3},{1,2}}
5. {{1},{2},{3}}

Für die Aufgabe wähle ich dann eine beliebige der obigen Partitionen aus. Da "P eine Partition von A sei".

Ist die Relation R dann das kartesische Produkt zwischen einer Partition?

Bspw. bei 1.) {1,2,3} x {1,2,3}

oder bei 2) {1} x {2,3}

Das erscheint mir ziemlich komisch und habe das Gefühl das ich falsch an die Sache rangehe oder etwas falsch betrachte..

Bitte um Hilfe, danke im Voraus!

LG

MioMioMathe
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In deinem Beispiel ist eine deiner fünf Möglichkeiten. Du mußt hier jedoch einen ganz abstrakten Beweis führen, der nicht auf die spezielle Natur von zugreift. könnte zum Beispiel auch die Menge der reellen Zahlen sein oder eine andere beliebig komplizierte Menge.

Zunächst mußt du die Relation verstehen. Zwei Elemente stehen in Relation zueinander, wenn sie im selben Partitionsstück liegen. So gilt in der Zeichnung , dagegen und . Jetzt weise die Axiome einer Äquivalenzrelation nach.

[attach]43031[/attach]
 
 
MioMioMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Super, ich danke dir!

Hat mir auf jeden fall schonmal weitergeholfen.

Ich werde es später versuchen und mich dann wieder melden smile
MioMioMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt folgendes:

Reflexivität:

Sei , zeige
Da P Partition ist


Symmetrie:

Sei x,y ELEMENT A, zeige
Da P Partition,


Transitivität:

Sei x,y,z ELEMENT A mit xRy UND yRz so auch xRz.
Da P Partition,




Kann man die Äquivalenzrelation damit beweisen, bzw. ist das überhaupt richtig so?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Symmetrienachweis ist nicht sauber ausgearbeitet. Beim zweiten Äquivalenzpfeil geht die Behauptung schon ein. Ich würde es mir einfacher machen. Beide Aussagen und führen auf dieselbe äquivalente Aussage:



Letztlich liegt es doch daran, daß schon die Definition der Relation symmetrisch in ist.

Und bei der Transitivität fängst du falsch an. Du hast zwei Aussagen: und . Diese sind äquivalent zu



beziehungsweise



Könnte es nicht auch so aussehen?

[attach]43034[/attach]
MioMioMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Leopold, das mit der Symmetrie habe ich verstanden.

Noch eine Frage zum Transitivitätsnachweis:

Hier nimmst du eine zweite Menge "N" dazu. Warum braucht man diese zweite Menge?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MioMioMathe
Hier nimmst du eine zweite Menge "N" dazu. Warum braucht man diese zweite Menge?


Das ist die Definition der Relation. "Es gibt eine Menge" bedeutet doch nicht, daß es für jedes Paar , das in Relation steht, dieselbe Menge sein muß.
Nimm die Graphik aus meiner ersten Antwort. Trage dort in das -Feld noch ein ein. Dann ist das "es-gibt-M" für die Menge und für die Menge . Du darfst beim Transitivitätsbeweis nicht von vorneherein unterstellen, daß es sich um dieselbe Menge handelt. Deswegen habe ich einmal , das andere Mal gesagt. Ich hätte die Mengen auch und nennen können. Entscheidend ist, daß ich sie verschieden benenne.
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