Berechnen eines Grenzwerts

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19.11.2016, 12:59	Mark7	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnen eines Grenzwerts Guten Tag allerseits, folgende Aufgabe beschäftigt mich: Wir sollen den Grenzwert von $\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k(n-k) \end{align}$ berechnen... Wir haben bis jetzt in der Vorlesung noch nie den Grenzwert einer Reihe konkret berechnen müssen, sondern nur bestimmen müssen ob sie konvergiert oder nicht. Da ich leider nicht wirklich einen Ansatz habe, habe ich mir einfach mal die ersten und letzten Glieder der Summe angesehen und ein paar Zusammenhänge gesehen, aber so wirklich helfen tut mir das auch nicht beim Berechnen des Grenzwert... Wie könnte man denn hier vorgehen?
19.11.2016, 13:06	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} k(n-k)=n\cdot k-k^2 \end{eqnarray}$ . Damit kannst du die Summe aufteilen in zwei Summen, für die es Summenformeln gibt.
19.11.2016, 14:03	Mark7	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: $\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\left( n\sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n k^2 \right)= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\left( n\cdot\left( \frac{n(n+1)}{2}\right) - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\left( \frac{n^2(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)= \end{align}$ $\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\left( \frac{3\cdot n^2(n+1)-n(n+1)(2n+1)}{6}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3} n(n^2-1)= \lim_{n\to\infty} \frac{n^2-1}{n^2}=1 \end{align}$ Ich hoffe mal dass stimmt so..
19.11.2016, 14:10	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleiner Flüchtigkeitsfehler: Beim drittletzten Gleichheitszeichen hast du die 6 im Nenner vergessen. Wenn du die noch ergänzt, stimmt es: Der Grenzwert ist $\begin{eqnarray} \frac 16 \end{eqnarray}$ .
19.11.2016, 14:29	Lea34	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe genau die gleiche Aufgabe, nur soll ich das ganze mit Riemann Summen berechnen. Mir ist die Definition zwar bekannt, leider haben wir aber nie ein Bsp. dazu gesehen also kenne ich auch nicht wirklich das Vorgehen für die Berechnung.. Kann mir jemand vlt. einen Ansatz liefern?
19.11.2016, 14:49	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n k(n-k)=\sum_{k=1}^n \frac 1n\cdot \left[\frac kn-\left(\frac kn\right)^2\right] \end{eqnarray}$
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19.11.2016, 15:24	Lea34	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, mit dem Tipp komme ich leider nicht wirklich weiter.. Eine Riemann Summe sieht ja folgendermassen aus: $\begin{eqnarray} R(f,\mathcal{Z},\textbf{z}) =\sum_{k=1}^n f(z_k)(x_k-x_{k-1}) \end{eqnarray}$ . Ich sehe schon, wieso du so umgeformt hast, wie du es gemacht hast (um auf die entsprechende Form zu kommen, oder?) aber ich sehe nicht ganz was mir das bringt.. Ich verstehe im allg. nicht wirklich was ich mit diesen Riemann Summen anfangen soll... In unserem Skript steht nur noch ein Satz bzgl. der Riemann Summen, nämlich: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0\exists \delta >0 \forall \mathcal{Z}\forall z: \|\mathcal{Z}\|<\delta \Rightarrow \left\| R(f,\mathcal{Z},\textbf{z}) - \int_a^b f(x)dx \right\|<\epsilon \end{eqnarray}$ und der Bew. dazu, der Prof. hat auch nicht wirklich erklärt für was man diese Summen oder diesen Satz brauchen kann, soll... Soll das jetzt heissen, dass das Integral der Grenzwert sein soll für die Summe?
19.11.2016, 17:58	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem Satz steht sicherlich noch mehr, nämlich folgendes: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn folgendes gilt: ... Der erste Schritt wäre, herauszufinden, zu welcher Funktion und zu welcher Zerlegung die Riemann-Summe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \frac 1n\cdot \left[\frac kn-\left(\frac kn\right)^2\right] \end{eqnarray}$ gehört. Und das Integral dieser Funktion ist dann der Grenzwert der Summe, richtig. Wieso postest du eigentlich in ein- und demselben Thread unter zwei verschiedenen Namen? Bleibe doch bitte bei einem Namen.
19.11.2016, 19:06	Lea34	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach einer kurzen Recherche, stellt sich heraus, dass man das Ganze auch so schreiben kann: $\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left[\frac{k}{n}-\left(\frac{k}{n}\right)^2\right] = \int_0^1 x-x^2 \mathrm{d}x = \frac{1}{6} \end{align}$ Leider wirft das viel mehr Fragen auf als es beantwortet: Stimmt die Funktion überhaupt? Wie kommt man auf diese Grenzen? Wieso wird $\begin{align} \frac{k}{n} \end{align}$ zum $\begin{align} x \end{align}$ (ist das immer der Fall, sprich muss ich genau so etwas konstruieren mit der Form $\begin{align} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum \frac{k}{n} \end{align}$ in irgendeiner Kombination)? und kann mir vlt. jemand ein allgemeines Verfahren angeben, wenn ich so einen Grenzwert bestimmen soll... Gruss Lea
19.11.2016, 19:25	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Erste Frage: Ja, genau das ist das gesuchte Integral. Zweite und dritte Frage: Mit $\begin{eqnarray} f(x)=x-x^2 \end{eqnarray}$ kann man die Summe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \frac 1n\cdot \left[\frac kn-\left(\frac kn\right)^2\right] \end{eqnarray}$ schreiben als $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \frac 1n\cdot f\left(\frac kn\right) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \frac 1n \end{eqnarray}$ ist die (hier konstante) Intervallbreite der Unterteilung $\begin{eqnarray} \mathcal Z \end{eqnarray}$ des Intervalls $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ . Siehst du jetzt, warum das eine Riemann-Summe ist? Ein allgemeines Verfahren für Grenzwertberechnungen kann man (bis auf einige Ausnahmen) nicht angeben. Es gibt immer wieder andere "Tricks", die einem dabei helfen.
19.11.2016, 20:47	Lea34	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, dass man die Summe darstellen kann mit $\begin{align} \lim_{x\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right) \end{align}$ sehe ich soweit. Auch die Idee mit der Breite der einzelnen Teilintervalle. Was mir aber immer noch nicht so klar ist, sind die Grenzen. Wieso weiss ich, dass diese 0 und 1 sind? Ich meine das steht ja soweit auch nirgends oder?
20.11.2016, 12:05	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das liegt daran, dass wir in die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die Werte $\begin{eqnarray} \frac kn, k=1, ..., n \end{eqnarray}$ einsetzen. Schau am besten in deinem Skript bei der Definition der Riemann-Summe $\begin{eqnarray} R(f,\mathcal{Z},\textbf{z}) =\sum_{k=1}^n f(z_k)(x_k-x_{k-1}) \end{eqnarray}$ nach, was diese $\begin{eqnarray} z_k \end{eqnarray}$ sind. Anschaulich ist die Summe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \frac 1n\cdot f\left(\frac kn\right) \end{eqnarray}$ eine Approximation des Flächeninhalts unter dem Graphen mit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Rechtecken der Breite $\begin{eqnarray} \frac 1n \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} n=7 \end{eqnarray}$ sieht das beispielsweise so aus: [attach]43040[/attach]

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