Rekursiv gegebene Folge untersuchen

19.11.2016, 13:22

Thon

Rekursiv gegebene Folge untersuchen

Betrachten Sie die rekursiv definierte Folge
$\begin{align*} x_0:=1 \end{align*}$ $\begin{align*} x_{n+1}:=\sqrt{1+x_n} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n \in \mathbb{N} \end{align*}$

Zeige durch vollständige Induktion, dass $\begin{align*} x_n \in [1,2] \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n \in \mathbb{N} \end{align*}$ gilt.
Zeige, dass die Folge $\begin{align*} (x_n) \end{align*}$ streng monoton wachsend ist.
Schließen Sie, dass die Folge konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert

Ich sitze schon echt lange an dieser Aufgabe. unglücklich

Idee:

zz. $\begin{align*} x_n \in [1,2] \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n \in \mathbb{N} \end{align*}$

IA: $\begin{align*} x_0=1 \in [1,2] \end{align*}$

IV: Für ein beliebiges aber festes n gilt $\begin{align*} 1 \leq x_n \leq 2 \end{align*}$

IB: Dann gilt natürlich auch $\begin{align*} 1 \leq x_{n+1} \leq 2 \end{align*}$

Und genau ab hier weiß ich nicht weiter. Ich hatte versucht durch Äquivalenzumformung von der IV zur IB zu kommen, aber ohne Erfolg.
Zu den anderen Aufgaben komme ich später.

Vielen Dank schon mal

19.11.2016, 17:22

Leopold

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RE: Rekursiv gegebene Folge untersuchen

Zitat:

Original von Thon
IB: Dann gilt natürlich auch $\begin{align*} 1 \leq x_{n+1} \leq 2 \end{align*}$

Das Wort "natürlich" ist hier unbedingt zu streichen. Denn das soll ja gerade nachgewiesen werden.

Wenn bereits $\begin{align*} 1 \leq x_n \leq 2 \end{align*}$ gilt, dann schätze $\begin{align*} x_{n+1} = \sqrt{1 + x_n} \end{align*}$ direkt ab. Eigentlich ist nichts zu rechnen. Man könnte höchstens auf die Monotonie der Wurzelfunktion verweisen.
Wenn du zunächst nachweist, daß die Folge streng monoton wächst, genügt es sogar, hier nach oben abzuschätzen.

20.11.2016, 15:39

Thon

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Meinst du, dass ich $\begin{align*} x_{n+1}=\sqrt{3} \end{align*}$ und $\begin{align*} x_{n+1}=\sqrt{1} \end{align*}$

Und beides ist ja $\begin{align*} \sqrt{3} ,\sqrt{1} \in[1,2] \end{align*}$ . Hätte ich damit den Induktionsschluss erledigt? verwirrt

Für streng Monotonie gilt:

$\begin{align*} x_n < x_{n+1} \end{align*}$

$\begin{align*} x_n < \sqrt{x_n+1} \end{align*}$

Der rechte Teil der Ungleichung wird ja immer größer als $\begin{align*} x_n \end{align*}$ sein. Muss man das mathematisch zeigen? verwirrt

Wenn ja, wie müsste ich vorgehen.

Sorry, ich habe irgendwie voll das Brett vorm Kopf. unglücklich

20.11.2016, 22:48

Thon

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Hast du keinen kleinen Denkanstoß. unglücklich

Ich sitze seit ca. 5 h dran. unglücklich

20.11.2016, 23:36

Leopold

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Wenn schon $\begin{align*} x_n \in [1,2] \end{align*}$ gilt, dann gilt für die nächste Nummer

$\begin{align*} x_{n+1} = \sqrt{1 + x_n} \geq \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \geq 1 \end{align*}$

und ebenso

$\begin{align*} x_{n+1} = \sqrt{1 + x_n} \leq \sqrt{1+2} = \sqrt{3} \leq 2 \end{align*}$

Also ist $\begin{align*} x_{n+1} \in [1,2] \end{align*}$ . Es wurde bei der Abschätzung verwendet, daß die Wurzelfunktion monoton wächst. Da auch $\begin{align*} x_0 \in [1,2] \end{align*}$ liegt, ist die Abschätzung bewiesen.

Den Monotoniebeweis könntest du folgendermaßen führen.

1. Zeige, daß $\begin{align*} x_{n+1} > x_n \end{align*}$ äquivalent zu $\begin{align*} x_n < \frac{1}{2} \left( 1 + \sqrt{5} \right) \end{align*}$ ist. Beginne, wie du es gemacht hast, mit $\begin{align*} \sqrt{1 + x_n} > x_n \end{align*}$ . Dann quadrieren, darauf quadratische Ergänzung. Überlege, an welcher Stelle du $\begin{align*} x_n \in [1,2] \end{align*}$ brauchst.

2. Zeige dann die Ungleichung $\begin{align*} x_n < \frac{1}{2} \left( 1 + \sqrt{5} \right) \end{align*}$ durch Induktion. Du wirst beim Induktionsschritt auf den Term $\begin{align*} \sqrt{\frac{1}{2} \left( 3 + \sqrt{5} \right)} \end{align*}$ stoßen. Und, wie es der Zufall (?) will, ist der Radikand gerade das Quadrat dessen, was man braucht.

21.11.2016, 10:51

HAL 9000

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Auch beim Monotoniebeweis könnte man mit der Monotonie der folgenbildenden Funktion $\begin{align*} T(x)=\sqrt{1+x} \end{align*}$ argumentieren, siehe hier.

21.11.2016, 22:16

Thon

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Danke

Was würde ich nur ohne euch tun. Wink

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