Satz von Green in der Ebene zur Schwerpunktberechnung

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19.11.2016, 13:39	tigu95	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Green in der Ebene zur Schwerpunktberechnung Hallo Ich bin neu hier und ersuche eure Hilfe zum folgenden Problem: Ich die folgenden Kurven die Parametrisiert wurden gegben: C1(t) = (2pi - t + sin(t), 1 - cos(t)) C2(t) =(t, 0) mit t [0, 2pi] Ich soll nun den Schwerpunkt von D bestimmen welcher ein Bereich ist der von den beiden Kurven c1 und c2 begrenzt wird und das mithilfe von Green. Nun ist mein Problem der Ansatz wie ich mit dem Satz von Green hier am besten rangehen muss. MFG
19.11.2016, 16:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute, daß auch für die erste Kurve $\begin{align} t \in [0,2\pi] \end{align}$ gilt. Du solltest dir auf jeden Fall eine Zeichnung erstellen. Zunächst brauchst du den Flächeninhalt $\begin{align} A \end{align}$ von $\begin{align} D \end{align}$ : $\begin{align} A = \int_D \dd (x,y) \end{align}$ Durch Anwendung des Satzes von Green auf das Kurvenintegral über $\begin{align} x ~ \dd y \end{align}$ oder über $\begin{align} -y ~ \dd x \end{align}$ bekommst du genau das obige Flächenintegral. Prüfe das nach. Du kannst die beiden Wege auch kombinieren und über $\begin{align} - \frac{1}{2} y ~ \dd x + \frac{1}{2} x ~ \dd y \end{align}$ integrieren. (Lösung zur Kontrolle: $\begin{align} A = 3 \pi \end{align}$ ) Wegen der Symmetrie des Gebiets ist der $\begin{align} x \end{align}$ -Wert des Schwerpunkts klar. Für den $\begin{align} y \end{align}$ -Wert des Schwerpunkts gilt: $\begin{align} y_S = \frac{1}{A} \int_D y ~ \dd (x,y) \end{align}$ Und vielleicht kommst du jetzt von alleine darauf, welches Kurvenintegral du dieses Mal ansetzen kannst.
20.11.2016, 12:03	tigu95	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erst mal für die schnelle antwort Vorerst erstmal haben wir leider noch nichts in der hinsicht mit zwei Parametrisierten Kurven gemacht deswegen jetzt ein paar grund fragen noch Ich habe bei dem Integral noch ein Problem. Meine Grenzen . Wie komme ich zu meinen Zwei integralgrenzen?
20.11.2016, 15:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie man ein Kurvenintegral mit Hilfe einer Parametrisierung berechnet, sollte dir bekannt sein. Sonst liegt die Aufgabe außerhalb deiner Möglichkeiten. Du brauchst nicht mit Gewalt beide Teilkurven in eine Gesamtparametrisierung zusammenzuzwingen, sondern kannst über die einzelnen Kurven integrieren und dann addieren: $\begin{align} A = \int_{C_1} -y ~ \dd x \ + \ \int_{C_2} -y ~ \dd x \end{align}$ Wichtig ist, daß die Kurven dabei das Gebiet in positivem Sinne, also gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. Du solltest dir also überlegen, ob das hier der Fall ist. Und schnell wirst du feststellen, daß der zweite Summand obsolet ist.
20.11.2016, 17:08	tigu95	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank
20.11.2016, 17:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt würde uns noch interessieren, was du für die Schwerpunktkoordinaten herausbekommen hast.
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20.11.2016, 21:47	Matheabc	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Green in der Ebene zur Schwerpunktberechnung Ich verstehe den Zusammenhang auch nicht so recht. Ich habe jetzt einfach mal diese zwei Wegintegrale berechnet. Nützt mir das hier was? $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! < C_1(t),C'_1(t)> \, dt <br /> =\int_{0}^{2\pi} \! < \begin{pmatrix} 2\pi -t+\sin(t) \\ 1-\cos(t) \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1+\cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} > \, dt = 3\pi^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! < C_2(t),C'_2(t)> \, dt <br /> =\int_{0}^{2\pi} \! < \begin{pmatrix} t \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} > \, dt = \pi^2 \end{eqnarray}$
20.11.2016, 23:26	Matheabc	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Green in der Ebene zur Schwerpunktberechnung Mir ist gerade aufgefallen, dass das Kurvenintegral zweiter Art so berechnet wird: $\begin{eqnarray} \int_{C} \! <f(C(t)),C'(t)> \, dt \end{eqnarray}$ Aber was ist meine Funktion f???
20.11.2016, 23:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst einen der Vorschläge aus meiner ersten Antwort verwenden. In deiner Schreibweise: $\begin{align} f(x,y) = (0,x) \ \ \text{oder} \ \ f(x,y) = (-y,0) \ \ \text{oder} \ \ f(x,y) = \left( - \frac{y}{2} \, , \, \frac{x}{2} \right) \end{align}$ Wenn du den Satz von Green anwendest, wirst du feststellen, daß alle Vorschläge auf das Integral $\begin{align} \int_D \dd (x,y) \end{align}$ hinauslaufen, so daß dir dieser Ansatz den Flächeninhalt $\begin{align} A \end{align}$ von $\begin{align} D \end{align}$ berechnet. Das ist der Nenner in deiner Formel aus dem anderen Thread. Es ist davon auszugehen, daß die Dichtefunktion $\begin{align} \varrho \end{align}$ konstant 1 ist, solange nichts anderes gesagt wird. Am wenigsten rechenaufwendig scheint mir mein zweiter Vorschlag zu sein. Wie du den Zähler in deiner Schwerpunktformel bestimmst, solltest du dann selber herausfinden. Du mußt wieder ein geschicktes $\begin{align} f(x,y) \end{align}$ konstruieren, damit sich bei der Anwendung von Green genau jener Zähler ergibt. Dann wieder das entsprechende Kurvenintegral berechnen. Auf jeden Fall solltest du dir eine Zeichnung von $\begin{align} D \end{align}$ machen und dich vergewissern, daß die Kurven, die den Rand von $\begin{align} D \end{align}$ bilden, positiv orientiert sind.
21.11.2016, 00:43	Matheabc	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Green in der Ebene zur Schwerpunktberechnung [attach]43049[/attach] So sieht D aus. Ich habe noch nicht ganz verstanden wie du f konstruierst. Die Rechnung bis zum Flächeninhalt von $\begin{eqnarray} 3\pi \end{eqnarray}$ habe ich hinbekommen. Was mir auch einleuchtet ist, dass der Schwerpunkt auf jeden Fall auf der Geraden $\begin{eqnarray} x_s=\pi \end{eqnarray}$ liegen muss
21.11.2016, 08:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Satz von Green erstellt man von $\begin{align} f(x,y) = \left( u(x,y) , v(x,y) \right) \end{align}$ den Ausdruck $\begin{align} \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \end{align}$ . Und jetzt habe ich ein $\begin{align} f \end{align}$ gesucht, so daß sich für diesen Ausdruck $\begin{align} \varrho(x,y) = 1 \end{align}$ ergibt. Denn wir wollen ja zunächst den Flächeninhalt berechnen: $\begin{align} A = \int_D 1 ~ \dd (x,y) \end{align}$ (das ist der Nenner des Bruchs in deinem andern Thread). Ein bißchen probieren, und meine drei Vorschläge liegen nahe. Ich hätte genau so gut $\begin{align} f(x,y) = \left( 2xy-y , x^2 \right) \end{align}$ nehmen können, denn auch hierfür hat die Differenz oben den Wert $\begin{align} 1 \end{align}$ . Aber warum sollte man es komplizierter machen als nötig ... Für die Schwerpunktkoordinaten $\begin{align} x_S,y_S \end{align}$ gilt $\begin{align} x_S = \frac{1}{A} \int_D x ~ \dd(x,y) \, , \quad y_S = \frac{1}{A} \int_D y ~ \dd(x,y) \end{align}$ Das entspricht, in die beiden Komponenten zerlegt, dem Zähler des Bruchs in deinem anderen Thread. Und jetzt brauchst du ein $\begin{align} f(x,y) \end{align}$ , so daß die obige Differenz nicht mehr $\begin{align} 1 \end{align}$ , sondern $\begin{align} x \end{align}$ bzw. $\begin{align} y \end{align}$ ergibt. Dann kannst du die entsprechenden Kurvenintegrale berechnen. Und wie du richtig erkannt hast, ist $\begin{align} x_S = \pi \end{align}$ offensichtlich. Zur Übung kannst du es ja trotzdem ausrechnen.
21.11.2016, 09:42	Matheabc	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Green in der Ebene zur Schwerpunktberechnung Okay vielen Dank jetzt bin ich schlauer! Ich habe für den Zähler jetzt einmal $\begin{eqnarray} f(x,y)=(0,\frac{1}{2}x^2) \end{eqnarray}$ gewählt. Dann komme ich auf $\begin{eqnarray} 3\pi^2 \end{eqnarray}$ Somit ergibt sich die x Koordinate für den Schwerpunkt durch $\begin{eqnarray} \frac{3\pi^2}{3\pi}=\pi \end{eqnarray}$ . Das stimmt also! Um die y Koordinate zu bekommen habe ich nun $\begin{eqnarray} f(x,y)=(-\frac{1}{2}y^2,0) \end{eqnarray}$ gewählt. Dann komme ich mit dem Kurvenintegral auf $\begin{eqnarray} \frac{5\pi}{2} \end{eqnarray}$ für den Zähler. Und letztlich auf $\begin{eqnarray} \frac{5}{6} \end{eqnarray}$ für die y Koordinate des Schwerpunktes. Ist das dann korrekt?
21.11.2016, 10:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt so.

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