Bijektive Abbildungen finden |
| 19.11.2016, 16:47 | RobinSeeker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Bijektive Abbildungen finden Guten Abend! Ich habe die Aufgabe, für eine bijektive Abbildung zwischen [0,1] und [a,b] zu finden. Leider habe ich keine Idee, wie man an so eine Aufgabe herangeht. Hat jemand einen Tipp für mich, wie man mit solchen Aufgaben umgeht? Vielen Dank! Liebe Grüße Robin Meine Ideen: - |
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| 19.11.2016, 16:52 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, überleg es dir erstmal an konkreten Beispielen. Wie ist es, wenn [a,b] = [0,2], was, wenn [a,b] = [1,2]? |
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| 19.11.2016, 17:43 | RobinSeeker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wenn ich das Intervall [1,2] betrachte könnte ich die Dezimaldarstellung im Intervall [0,1] nutzen. Da sich in diesem Intervall jede Zahl als 0,.... darstellen lässt, würde ich einfach immer +1 rechnen. Geht das? Wenn ich jetzt allerdings ins Intervall [0,2] will könnte ich dann jeder Zahl aus [0,1] ihr doppeltes zuordnen? |
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| 19.11.2016, 17:51 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja genau. Deine Ideen sind richtig, mit Dezimaldarstellung hat das aber nicht so viel zu tun 
Im ersten Fall haben wir unser Intervall um den Faktor 2 gestreckt, im zweiten Fall um 1 verschoben. Hast du eine Idee, wie man um einen beliebigen Faktor strecken könnte? Oder um allgemeines verschieben? |
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| 19.11.2016, 18:13 | RobinSeeker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Faktor ist (b - a), also könnte ich ein Element aus [0,1] auf sich selbst multipliziert mit (b-a) abbilden? |
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| 19.11.2016, 18:35 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist zwar nun auch schon wieder ein spezieller Faktor aber tatsächlich genau, was wir haben wollen. Kannst du die entsprechende Abbildung mal explizit hinschreiben? Nach dem Strecken des Intervalls auf die richtige Länge müssen wir es noch an die richtige Position verschieben. Wie machen wir das? |
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| 19.11.2016, 19:25 | RobinSeeker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich würde (leider weiß ich nicht, wie man die Formeln im Forum benutzt) sagen, dass f: [0,1] in [a,b], x auf x(a-b)+a? |
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| 19.11.2016, 20:07 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kleiner Struddelfehler, es muss natürlich (b-a) heißen, das hattest du oben auch schon. Sonst ist es richtig. Um nochmal hierauf einzugehen:
Ich denke unsere Vorgehensweise ist klar geworden? Zuerst haben wir uns an sehr einfachen Beispiel klar gemacht, was eigentlich passiert und sind dann immer allgemeiner geworden. Das ist oft eine gute Taktik, wenn man garkeinen Überblick hat, was herauskommen könnte. |
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| 19.11.2016, 20:40 | RobinSeeker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank! 
Und was müsste ich verändern, wenn ich ein offenes Intervall (a,b) verwenden würde? |
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| 19.11.2016, 20:45 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kommt drauf an, wenn du auf abbilden willst, ist das relativ kompliziert. Wenn du auf abbilden willst, solltest du erstmal selbst überlegen. |
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| 19.11.2016, 20:56 | RobinSeeker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also von (0,1) in (a,b) würde ich das selbe verwenden. Bei Dingen wie (0,1) in [0,1] würde das aber nicht klappen. :/ |
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| 19.11.2016, 21:08 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ne, das würde nicht klappen. Also du sollst auch noch eine bijektive Abbildung von [0,1] auf (0,1) angeben? |
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| 19.11.2016, 22:45 | RobinSeeker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso nicht? Es würden dann doch nur 0 und 1 wegfallen und damit auch a und b selbst, was doch ein offenes Intervall ausmacht? Genau! Das muss ich. :-) |
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| 19.11.2016, 22:54 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Missverständnis. Das mit den offenen Intervallen würde so klappen. Das mit dem "nicht klappen" bezog sich auf
Ich würd mir als erstes mal überlegen, wie man eine Bijektion zwischen [0,1] und [0,1) konstruiert. Man könnte zum Beispiel 1 auf 1/2 abbilden, 1/2 dann auf 1/4, 1/4 auf 1/8 und so weiter. Du müsstest noch nachweisen, dass das tatsächlich eine Bijektion wird, ist nicht ganz so offensichtlich. |
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| 20.11.2016, 09:40 | RobinSeeker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber dann hätte ich doch , wie würde ich dann die 0 erreichen, wenn ich sie selbst nicht für x einsetzen darf? Und wie z.B. 0,9, dafür bräuchte ich ja eine 1,8? |
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| 20.11.2016, 11:13 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe nie davon gesprochen, alle Elemente zu halbieren, sondern nur die, die ich angesprochen habe: 1,1/2,1/4,1/8,... |
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| 20.11.2016, 11:34 | RobinSeeker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also kann ich das so verstehen, dass du x auf sich selbst Abbilden willst, wenn x keine Potenz von 1/2 ist und falls x eine Potenz von 1/2 ist : x*1/2? |
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| 20.11.2016, 11:49 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. |
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Unwissenschaftlich!