Nullstelle z => z* auch eine Nullstelle. Warum?

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19.11.2016, 20:23	43zu	Auf diesen Beitrag antworten »
*Nullstelle z => z auch eine Nullstelle. Warum?** Hallo, eine Frage zu den komplexen Zahlen. Bei einem reellen Polynom, dass die Nullstelle z besitzt, besitzt das Polynom ebenfalls die Nullstelle z. Bsp.: $\begin{eqnarray} z=1+2i \end{eqnarray}$ ist eine Nullstelle. Dann hat das Polynom bei $\begin{eqnarray} z^=1-2i \end{eqnarray}$ ebenfalls eine Nullstelle. Warum ist das so?
19.11.2016, 20:30	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, schreibe dein Polynom mal aus in $\begin{eqnarray} p(z) = a_nz^n+...+a_1z+a_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_0,...,a_n\in\mathbb R \end{eqnarray}$ . Was passiert, wenn du die Gleichung $\begin{eqnarray} p(z) = 0 \end{eqnarray}$ konjugierst?
19.11.2016, 20:45	43zu	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Vorzeichen vor jedem $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ändert sich?
19.11.2016, 20:52	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist komplex konjugieren das gleiche, wie mit $\begin{eqnarray} (-1) \end{eqnarray}$ multiplizieren?
19.11.2016, 21:08	43zu	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich nicht, da das komplex konjugierte von $\begin{eqnarray} z=1+2i \end{eqnarray}$ , sonst $\begin{eqnarray} z=-1-2i \end{eqnarray}$ lauten würde. Dies ist aber nicht so. Aber irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.
19.11.2016, 21:19	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Die komplexe Konjugation ist ein Körperautomorphismus der komplexen Zahlen, das heißt sie vertauscht sowohl mit Addition, als auch mit Multiplikation. Aus $\begin{eqnarray} \overline{a+b} \end{eqnarray}$ wird also $\begin{eqnarray} \bar a+\bar b \end{eqnarray}$ und aus $\begin{eqnarray} \overline{ab} \end{eqnarray}$ wird $\begin{eqnarray} \bar a\bar b \end{eqnarray}$ . Nun wende das auf $\begin{eqnarray} \overline{a_nz^n+...+a_0} \end{eqnarray}$ an.
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19.11.2016, 21:38	43zu	Auf diesen Beitrag antworten »
Daraus entsteht dann: $\begin{eqnarray} \overline{a_n}\overline{z^n}+...+\overline{a_0} \end{eqnarray}$ Bei den Reellen Zahlen wie $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ , so meine Vermutung, wird nichts passieren. Also werden nur die $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ komplex konjugiert.
19.11.2016, 21:42	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, bei den $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ kannst du die Konjugation weglassen. Bei den $\begin{eqnarray} \overline{z^n} \end{eqnarray}$ kannst du auch noch die Multiplikativität verwenden.
19.11.2016, 21:51	43zu	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas so?: $\begin{eqnarray} \overline{z_1}\overline{z_2}\overline{z_3}...\overline{z_n} \end{eqnarray}$
19.11.2016, 21:53	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo kommen die Indize her? Was bedeuten die?
19.11.2016, 22:01	43zu	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Indizes entsprechen den Potenzen. Also wenn ich $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ habe, kann ich es auch als $\begin{eqnarray} xxx \end{eqnarray}$ schrieben. Die höchste Potenz steht für den Grad der Gleichung und der maximalen Anzahl der Nullstellen.
19.11.2016, 22:05	43zu	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder meinst du, dass ich $\begin{eqnarray} \overline{z^n} \end{eqnarray}$ auch als $\begin{eqnarray} \overline{z}^n \end{eqnarray}$ schrieben kann?
19.11.2016, 22:07	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau! Siehst du jetzt, worauf das hinausläuft?
19.11.2016, 22:17	43zu	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wird beim komplex konjugieren einer Funktion nur $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ komplex konjugiert. D.h., dass aus $\begin{eqnarray} a+bi \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a-bi \end{eqnarray}$ wird. Und wenn $\begin{eqnarray} a+bi \end{eqnarray}$ also eine Nullstelle ist, ist somit auch $\begin{eqnarray} a-bi \end{eqnarray}$ eine Nullstelle. Auch ohne die Funktion komplex zu konjugieren? Aber so wirklich verstanden habe ich es nicht.
19.11.2016, 22:46	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du geschrieben hast, stimmt nicht. Wir haben aber gerade gesehen, dass im Falle eines reellen Polynoms P (keinesfalls gilt das für alle Funktionen, wie kommst du auf einmal darauf?) mit Nullstelle $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} 0 = \overline{P(z)} = P(\overline z) \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} \overline z \end{eqnarray}$ eine Nullstelle von P.
19.11.2016, 23:34	43zu	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit der Funktion, war ein Flüchtigkeitsfehler. Also kann man das so sehen, wie bei einer Gleichung, die nur gerade Exponenten besitzt? Da ist es ja auch egal, ob der x-Wert positiv oder negativ ist. Beim richtigen Betrag, kommt dann 0 heraus.

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Nullstelle z => z* auch eine Nullstelle. Warum?

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