Iterationsverfahren

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19.11.2016, 20:35	cattas	Auf diesen Beitrag antworten »
Iterationsverfahren Hallo in die Runde, ich scheitere gerade an einer Aufgabe und sehe keinen Weg, wie ich das Problem überhaupt angehen kann. Vielleicht sehe ich einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht? Auf jeden Fall verzweifele ich langsam. $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x}{e^{x/9}} \frac{\sin (\pi (x-1))}{ (x-1)} \end{eqnarray}$ Die Aufgabe sagt: Die Funktion hat an genau einer Stelle k > 1 den selben Funktionswert wie bei x = 1. Ich soll die Stelle k mit einem Iterationsverfahren bestimmen. Da $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ bei x =1 ja nicht definiert ist habe ich mit $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1} \end{eqnarray}$ gerechnet und erhalte für $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ dann 0. Wie kann ich jetzt die zweite Stelle y=0 finden? Das ist der Punkt wo ich nicht weiter komme. Kann ich das Newton-Verfahren verwenden? Damit komme ich zumindest auf keine anständigen Ergebnisse. Und vor allem kann ich die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray*}$ vor dem ableiten irgendwie vereinfachen? Ich bräuchte irgendwie mal einen Schubs in die richtige Richtung. Danke, Tobi
19.11.2016, 21:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsverfahren Eines der gängigen Iterationsverfahren (Regula Falsi, Intervallhalbierung, Newton-Verfahren , ..) kann verwendet werden. Es empfiehlt sich allerdings Technologieeinsatz (GTR, CAS, EXCEL, ..), denn die Rechnerei ist ansonsten mühsam. EDIT: Startwert, Plot berichtigt Tipp: Nimm als Startwert x = 1.5 mY+
19.11.2016, 21:34	cattas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsverfahren Hallo mYthos, danke für deine Antwort. Dann bin ich beruhigt, dass ich zumindest nicht komplett auf dem Holzweg bin. Aber kann es sein, dass du in deinem Plot das PI vergessen hast? Mein f(x) sieht so anders aus
19.11.2016, 21:36	Systemfehler	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 1} \end{eqnarray}$ wird f(x) nicht 0.
19.11.2016, 21:44	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt, habe ich übersehen. Also ist zunächst der Grenzwert zu berechnen, dieser ist nicht Null (er sei a). Danach ist die Gleichung f(x) - a = 0 iterativ zu lösen. Es bleibt dann so, wie gesagt, der Startwert wird dann bei x = 1,5 liegen. Anmerkung: Newton könnte/wird divergieren, wenn ein Wendepunkt in der Nähe liegt (!), besser ist jedenfalls Regula Falsi (Sekantenverfahren), mit Technologieeinsatz ist dies sogar leichter zu lösen (keine Ableitung nötig!). mY+
19.11.2016, 21:46	cattas	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dann habe ich jetzt wieder was zu rechnen
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19.11.2016, 21:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Grenzwert ist $\begin{eqnarray} \pi \cdot e^{-\frac 1 9} \end{eqnarray}$ , für den Startwert kannst du 1,5 wählen. ---- Den Plot korrigiere ich auch noch ...
19.11.2016, 22:01	Systemfehler	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Grenzwert ist $\begin{eqnarray} \frac{\pi }{e^{\frac{1}{9} } } \end{eqnarray}$ , das ist ca. 2,811. Die gesuchte Stelle müsste $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ sein.
19.11.2016, 22:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, $\begin{eqnarray} \sqrt2 \end{eqnarray}$ ist es NICHT, genau ist x = 1.414663811 mY+
19.11.2016, 22:37	cattas	Auf diesen Beitrag antworten »
cool! allerdings verstehe ich die Umformung nicht ganz. Wie hast du den Sinus entfernt?
19.11.2016, 23:15	cattas	Auf diesen Beitrag antworten »
ich meine die Ermittlung des Grenzwertes. Das scheint mein Problem zu sein. Wie kann ich mit dem Sinus in der Berechnung des Grenzwertes umgehen/entfernen?
19.11.2016, 23:48	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht letztendlich nur um den Faktor $\begin{eqnarray} \frac{\sin \pi (x-1)}{x-1} \end{eqnarray}$ , der andere dürfte klar sein. Wir setzen $\begin{eqnarray} x-1 = u \end{eqnarray}$ und ermitteln $\begin{eqnarray} \lim_{u \to 0} \frac {\sin \pi u} u \end{eqnarray}$ mittels der Regel von L'Hospital. Jetzt klar?
20.11.2016, 00:33	cattas	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh, super jetzt habe auch ich es verstanden! Du hast meinen Abend gerettet Danke mYthos!

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