Transformationsmatrix des Basiswechsels

19.11.2016, 23:57	der_unkluge	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsmatrix des Basiswechsels Hallo, und zwar habe ich eine Verständnisfrage zum Basiswechsel. Ich habe mir sowohl im Skriptum, als auch im Internet diverse Beiträge angesehen, und bin auf "verschiedene" Methoden, die das gleiche bewirken gestoßen (nämlich den Basiswechsel ) Jetzt habe ich nur eine Frage, wo es irgendwie happert: Wenn ich einen Basiswechsel von $\begin{eqnarray} A \longrightarrow B \end{eqnarray}$ machen möchte, muss ich dann: $\begin{eqnarray} A^{-1} B \end{eqnarray}$ für die Transformationsmatrix rechnen, oder $\begin{eqnarray} B^{-1} * A \end{eqnarray}$ ? Für mein Verständnis wäre es eigentlich erstere Variante, nun habe ich aber eine alte Prüfung gesehen, wo es umgekehrt gemacht wurde und richtig galt. Sprich für den Wechsel von $\begin{eqnarray} A \longrightarrow B \end{eqnarray}$ wurde $\begin{eqnarray} B^{-1} * A \end{eqnarray*}$ gerechnet. Auf diversen Internetseiten hab ich es aber anders rum gesehen, daher bin ich nun etwas durcheinander...
20.11.2016, 11:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kommt vermutlich darauf an, ob man Abbildungen von links oder von rechts auf Argumente wirken lässt. f(x)=Mx oder f(x)=xM ? Man kann Vektoren als Spaltenvektoren oder als Zeilenvektoren schreiben. Deine Schreibweise ist nicht klar, sind A und B Basen oder Matrizen ? Eine Basis kann man nicht invertieren, also müssen es Matrizen sein . Was sind dann die Basen, die gewechselt werden ?
20.11.2016, 16:38	der_unkluge	Auf diesen Beitrag antworten »
Und zwar sind folgende Basen vorgelegt: $\begin{eqnarray} K = \{e1,e2,e3\}, B = \{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ -2\end{pmatrix}\} \end{eqnarray}$ Die Fragestellung lautet Konkret: Man ermittle die Transformationsmatrix des Basiswechsels: $\begin{eqnarray} K \rightarrow B \end{eqnarray}$ Nun ist die Matrix K quasi die 3x3 einheitsmatrix. Die Korrekte Lösung war, das Inverse der Matrix B. Da K die Einheitsmatrix ist, muss man dass dann nicht mehr multiplizieren (soweit klar). Aber warum das Inverse der Matrix B? Und nicht das Inverse der Matrix K * B ? (was wieder B wäre)?
20.11.2016, 18:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte das nicht alles aufschreiben, weil das in Wikipedia unter "Spezialfälle" leicht zu finden ist. Das muss man sich nur einmal zu Gemüte führen. https://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)
20.11.2016, 18:36	der_unkluge	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs gefunden, danke! Aber angenommen K wäre NICHT die Standardbasis, sondern eine andere Matrix aus 3 BasisVektoren aus dem R3, wie wäre denn dann die Vorgehensweise für die Transformationsmatrix? Laut Wikipedia muss ich die Vektoren der alten Basis als Linearkombination der Vektoren der neuen Basis darstellen. Würde dies bedeuten (frei erdachtes Beispiel): Ein Basisvektor von K $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ein Basisvektor von B $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wäre demzufolge wie folgt dargestellt? $\begin{eqnarray} 21 + 0.56+11 \end{eqnarray*}$ Und dies wäre dann meine erste Spalte?
20.11.2016, 19:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Überhaupt nicht. Koeffizienten eines Vektors in V/K sind keine Vektoren aus V, sondern Elemente von K. Tipp: Studiere lineare Algebra, insbesondere Vektorräume, sonst haben Vektoren, Basen, Basiswechsel und Matrizen keinen Sinn.
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