Differenzierbarkeit R^2 -> R

20.11.2016, 01:45	Standardabweichung	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit R^2 -> R Meine Frage: Ich soll überprüfen, ob $\begin{eqnarray} f(x, y) = \begin{cases} \sqrt{1-x^2-y^2}, \qquad \mathrm{falls}\; x^2 + y^2 < 1 \\ 0, \qquad \mathrm{sonst.} \end{cases} \end{eqnarray}$ differenzierbar ist. Meine Ideen: Also kritisch sind die $\begin{eqnarray} (x, y) \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ , für die gilt $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray}$ gilt, also die Punkte auf dem Einheitskreis. Die partiellen Ableitungen für $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 < 1 \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x}f = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial y}f = -\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 \geq 1 \end{eqnarray}$ sind beide partiellen Ableitungen 0. Um zu überprüfen, ob $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ differenzierbar ist, muss ich jetzt ja überprüfen, ob die beiden partiellen Ableitungen stetig sind, weiß aber nicht so genau, wie ich das angehen soll: Muss ich $\begin{eqnarray} \lim_{x^2 + y^2 \to 1} -\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}} = 0 \end{eqnarray}$ und analoges für $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ zeigen?
20.11.2016, 09:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Graph von $\begin{align} z=f(x,y) \end{align}$ ist ja für $\begin{align} x^2 + y^2 < 1 \end{align}$ die obere Einheitshalbkugel. Und am Rand der Halbkugel geht's ziemlich steil runter.
20.11.2016, 15:33	Standardabweichung	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann scheint die Funktion auf dem Einheitskreis $\begin{eqnarray} E = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1\} \end{eqnarray}$ nicht differenzierbar zu sein, das muss ich jetzt noch zeigen. Also stetig ist sie auch auf dem Einheitskreis, darum kann ich nicht mit "unstetig -> nicht diff'bar" argumentieren. Ich müsste also zeigen, dass eine partielle Ableitung auf dem Einheitskreis unstetig ist. Ich zeige also, dass $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x}f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x, y) \mapsto \begin{cases} -\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}, \mathrm{falls}\; x^2 + y^2 < 1 \\ 0,\; \mathrm{sonst} \end{cases} <br /> \end{eqnarray}$ auf einem Einheitskreispunkt unstetig ist. Ich nehme jetzt mal eine Folge in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ her, die gegen einen Einheitskreispunkt konvergiert: $\begin{eqnarray} (1-\frac{1}{n}, 0)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ hat den Grenzwert $\begin{eqnarray} (1, 0) \end{eqnarray}$ , also gilt $\begin{eqnarray} f(1, 0) = 0 \end{eqnarray}$ und es ist $\begin{eqnarray} (1-\frac{1}{n})^2 < 1. \end{eqnarray}$ Dann betrachte ich jetzt den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} f(1-1/n, 0) = \lim_{n \to \infty} \frac{(1-n)/n}{\sqrt{1/n^2 - 2/n}} =\lim_{n \to \infty} -\frac{n-1}{\sqrt{2n-1}} = - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{2n-1}}\cdot 2} = \lim_{n \to \infty} -\sqrt{2n-1} = -\infty \neq 0. \end{eqnarray}$ Geht das so?
21.11.2016, 09:22	Standardabweichung	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei damit hätte ich ja nur gezeigt, dass die partiellen Ableitungen in (1,0) unstetig sind. Wenn ich allgemein sagen will, dass die Funktion auf dem Einheitskreis nicht diffbar ist, müsste ich ja die Grenzwerte [latex]\lim_{x^2+y^2 \to 1} - \frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2} = lim_{x^2+y^2 \to 1} - \frac{x}{\sqrt{1-(x^2+y^2)}= -\infty = lim_{x^2+y^2 \to 1} - \frac{y}{\sqrt{1-(x^2+y^2)} = \lim_{x^2+y^2 \to 1} - \frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2} anschauen, aber die existieren ja auch nicht, sind also nicht 0. Ist damit gezeigt, dass f auf dem Einheitskreis nicht diffbar ist?
21.11.2016, 09:25	Standardabweichung	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei damit hätte ich ja nur gezeigt, dass die partiellen Ableitungen in (1,0) unstetig sind. Wenn ich allgemein sagen will, dass die Funktion auf dem Einheitskreis nicht diffbar ist, müsste ich ja die Grenzwerte $\begin{eqnarray} \lim_{x^2+y^2 \to 1} - \frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}} = lim_{x^2+y^2 \to 1} - \frac{x}{\sqrt{1-(x^2+y^2)}}= -\infty = lim_{x^2+y^2 \to 1} - \frac{y}{\sqrt{1-(x^2+y^2)}} = \lim_{x^2+y^2 \to 1} - \frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}} \end{eqnarray}$ anschauen, aber die existieren ja auch nicht, sind also nicht 0. Ist damit gezeigt, dass f auf dem Einheitskreis nicht diffbar ist?

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