Grenzwert

20.11.2016, 09:27

Dernowaynoplan

Grenzwert

Meine Frage:

Hallo Mathematiker,

Ich soll von folgender Folge untersuchen ob sie für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ konvergiert und gegebenfalls den Grenzwert ausrechnen

$\begin{eqnarray*} <br /> a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}<br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich seh, dass alles vom Bruch gegen unendlich strebt aber wie stell ich die Formel um, dass ich das nachweisen kann????

Und wie überhaupt untersucht man mathematisch korrekt zuerst ob eine Folge konvergiert bevor man den Grenzwert ausrechnet?

Vielleicht könnt ihr mir ja helfen?

Vielen Dank

21.11.2016, 09:38

klarsoweit

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RE: Grenzwert
Kommt drauf an, ob du Konvergenzkriterien für Reihen kennst. Wenn ja, würde ich zeigen, daß die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$ konvergiert. smile

21.11.2016, 09:54

Leopold

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von Dernowaynoplan
Und wie überhaupt untersucht man mathematisch korrekt zuerst ob eine Folge konvergiert bevor man den Grenzwert ausrechnet?

Man muß ein Gefühl für die Sache entwickeln. Schau dir Zähler und Nenner an und interpretiere die Terme. Beide haben $\begin{align*} n \end{align*}$ Faktoren, im Nenner immer derselbe, nämlich $\begin{align*} n \end{align*}$ , im Zähler, wenn man mit $\begin{align*} n \end{align*}$ beginnt, der nächste immer um 1 kleiner. Der Nenner wächst daher "viel schneller" als der Zähler, wenn $\begin{align*} n \end{align*}$ gegen unendlich strebt. Was sagt einem das Gespür, was der Grenzwert ist?

Oder schreiben wir es einmal so auf:

$\begin{align*} a_n = \frac{n!}{n^n} = \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n} \cdots \frac{2}{n} \cdot \color{red} \frac{1}{n} \end{align*}$

Jetzt schätze jeden der ersten $\begin{align*} n-1 \end{align*}$ Brüche durch eine Konstante nach oben ab, so daß nur noch der letzte rote übrigbleibt. Diese Abschätzung ist zwar sehr grob. Aber sie reicht, um das Grenzverhalten einzusehen.

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