Beweis durch Induktion

20.11.2016, 09:34	Semmelbrösel	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch Induktion Meine Frage: Guten Morgen! Ich soll folgende Gleichung beweisen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n} (\frac{(-1)^{k} }{k+1}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} ) = \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe nun noch ein Problem mit dem Induktionsschritt, mein Ansatz sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k=0}^{n+1} (\frac{(-1)^{k} }{k+1}\begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} )<br /> = \sum\limits_{k=1}^{n} (\frac{(-1)^{k} }{k+1}\begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} ) +\frac{(-1)^{n+1} }{(n+1)+1}\begin{pmatrix} n+1 \\ n+1 \end{pmatrix} + 1 <br /> = \sum\limits_{k=1}^{n} (\frac{(-1)^{k} }{k+1}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} ) + \sum\limits_{k=1}^{n} (\frac{(-1)^{k} }{k+1}\begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} ) + \frac{(-1)^{n+1} }{(n+1)+1} +1<br /> = \sum\limits_{k=0}^{n} (\frac{(-1)^{k} }{k+1}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} ) + \sum\limits_{l=0}^{n-1} (\frac{(-1)^{l+1} }{(l+1)+1}\begin{pmatrix} n \\ l \end{pmatrix} ) + \frac{(-1)^{n+1} }{(n+1)+1} , l := k-1<br /> = \frac{1}{n+1} + \sum\limits_{l=0}^{n} (\frac{(-1)^{l+1} }{(l+1)+1}\begin{pmatrix} n \\ l \end{pmatrix} )<br /> \end{eqnarray}$ Mein Problem besteht nun darin, die letzte Summe explizit auszudrücken.
21.11.2016, 09:28	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis durch Induktion Muß das unbedingt mit vollständiger Induktion gemacht werden? Mit der Umformung $\begin{eqnarray} \frac{1}{k+1} \cdot \binom n k = \frac{1}{n+1} \cdot \binom{n+1}{k+1} \end{eqnarray}$ geht es auch direkt.
21.11.2016, 09:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nebenprodukt Immerhin kann man den Versuch des Induktionsbeweises im Eröffnungsbeitrag umwidmen in einen Beweis der Formel $\begin{align} \sum_{l=0}^n \frac{(-1)^l}{l+2} \binom{n}{l} = \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{align}$ , natürlich erst, sofern die eigentliche Threadbehauptung (z.B. mit dem Tipp von klarsoweit) bewältigt wurde.
21.11.2016, 19:41	Semmelbrösel	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Leider mit vollständiger Induktion, ja. :/
21.11.2016, 20:23	Semmelbrösel	Auf diesen Beitrag antworten »
Inwiefern würdest du den Beweis ohne Induktion machen, klarsoweit?
22.11.2016, 08:40	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis durch Induktion Wie man leicht sieht, ist: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n+1}{k+1} = \sum_{k=1}^{n +1} (-1)^{k-1} \binom{n+1}{k} = 1 + \sum_{k=0}^{n +1} (-1)^{k-1} \binom{n+1}{k} = 1 + (-1) \cdot \sum_{k=0}^{n +1} (-1)^k \binom{n+1}{k} = 1 - (1 - 1)^{n+1} = 1 \end{eqnarray}$ Somit gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n (\frac{(-1)^k }{k+1} \binom n k ) = \sum_{k=0}^n (\frac{(-1)^k }{n+1} \binom{n+1}{k+1} ) = \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ Wenn du trotzdem den Beweis mit vollständiger Induktion machen willst (mußt), solltest du aber auch die von mir angegebene Umformung nutzen.
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22.11.2016, 09:14	Semmelbrösel	Auf diesen Beitrag antworten »
Clever! Wie man auf sowas nur kommt? Vielen Dank an euch! =)

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