Teilfolgen

20.11.2016, 10:41	Mango123	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilfolgen Meine Frage: Ich muss beweisen: a(n) ->a <=> Jede Teilfolge von a(n) besitzt eine gegen a konvergenten Teilfolge. Stimmt mein Beweis ? Meine Ideen: Wegen Äquivalentzeichen in beide Richtungen zu beweisen: "=>": Sei a(n) konvergente Folge => $\begin{eqnarray} \forall \epsilon >0 \ \exists n0\in \mathbb N \ \forall n\in \mathbb N,n>n0:\| a(n)-a \| <\epsilon \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \forall \epsilon >0 \ \exists n0\in \mathbb N \ \forall n\in \mathbb N,n>n0:\| a(nk)-a \| <\epsilon \end{eqnarray}$ , da jede Teilfolge einer konvergenten Folge gegen denselben Grenzwert konvergiert. => $\begin{eqnarray} \forall \epsilon >0 \ \exists n0\in \mathbb N \ \forall n\in \mathbb N,n>n0:\| a(nkl)-a \| <\epsilon \end{eqnarray}$ , da jede Teilfolge einer konvergenten Folge gegen denselben Grenzwert konvergiert. "<=": Sei a(nkl) nicht konvergent => $\begin{eqnarray} \exists \epsilon >0 \ \forall n0\in \mathbb N \ \forall n\in \mathbb N,n>n0:\| a(nkl)-a \| >\epsilon \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \exists \epsilon >0 \ \forall n0\in \mathbb N \ \forall n\in \mathbb N,n>n0:\| a(nk)-a \| >\epsilon \end{eqnarray}$ , da a(nkl) Teilfolge ist. => $\begin{eqnarray} \exists \epsilon >0 \ \forall n0\in \mathbb N \ \forall n\in \mathbb N,n>n0:\| a(n)-a \| >\epsilon \end{eqnarray}$ , da a(nk) Teilfolge von a(n) ist. => Widerspruch, da a(n) konvergent sein muss! Edit (mY+): LaTeX leserlicher gemacht (Leerabstand mit \ und \epsilon anstatt epsilon)

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