Diverse äquivalente Aussagen beweisen

20.11.2016, 16:29	Kaidan	Auf diesen Beitrag antworten »
Diverse äquivalente Aussagen beweisen Hallo zusammen, folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} T : V \to W \end{eqnarray}$ ein beliebiger Homomorphismus zwischen zwei $\begin{eqnarray} \mathbb{K} \end{eqnarray}$ -Vektorräumen. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: (a) $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ist injektiv. (b) Die duale Abbildung $\begin{eqnarray} T^:W^\to V^ \end{eqnarray}$ ist surjektiv. (c) Das Nullelement von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist das einzige Element, das auf das Nullelement von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ abgebildet wird. (d) Für jedes $\begin{eqnarray} v \in V\setminus \{0\} \end{eqnarray}$ existiert ein $\begin{eqnarray} g \in W^* \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(T(v)) \neq 0 \end{eqnarray}$ . Ich nehme nicht an, dass ich die Aussagen genau in der Reihenfolge beweisen muss, von daher dachte ich mir folgende Reihenfolge: a) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ a) Falls es einen einfacheren Weg geben sollte bin ich natürlich ganz Ohr^^ a) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ c) Sei $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ Injektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \ker(T)=\{0_V\} \Rightarrow \end{eqnarray}$ nur das Nullelement von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ wird auf das Nullelement von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ abgebildet. c) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ d) Wenn nur das Nullelement von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ auf das Nullement von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ abgebildet wird, so bedeutet dass für alle anderen $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} T(v)\neq0 \end{eqnarray}$ . Sein nun $\begin{eqnarray} T(v)=w\in W \end{eqnarray}$ so gilt es doch nun zu zeigen, dass ein $\begin{eqnarray} g \in W^=Hom_{\mathbb{K}}(W,\mathbb{K}) \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} g(w)\neq 0 \end{eqnarray}$ Und genau ab hier komme ich nicht mehr wirklich weiter... Ich schaffe den Teil nicht fertig aber auch d) [l]\Rightarrow/l] b) bekomme ich nicht wirklich hin... Ein paar Ratschläge wären genial! Gruss Kaidan

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