Unabhängigkeit Dichte

20.11.2016, 18:48

StrunzMagi

Unabhängigkeit Dichte

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P}) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitstraum. Seien $\begin{eqnarray*} X_1,.,X_n \end{eqnarray*}$ absolut stetige Zufallsvariablen und $\begin{eqnarray*} X=(X_1,..,X_n) \end{eqnarray*}$ ein Zufallsvektor, der absolut stetig ist.
Wieso ist $\begin{eqnarray*} X_1,..,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig äquivalent damit, dass die Dichte von X gleich das Produkt der Dichten von $\begin{eqnarray*} X_1,..,X_n \end{eqnarray*}$ ist?

Meine Ideen:

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} X_1,..,X_n \end{eqnarray*}$ genau dann unabhängig ist wenn $\begin{eqnarray*} \mu= \mu_1 \otimes ... \otimes \mu_n \end{eqnarray*}$ für die gemeinsame Verteilung $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und die Randverteilungen $\begin{eqnarray*} \mu_1,..,\mu_n \end{eqnarray*}$ gilt.
Sei $\begin{eqnarray*} A=A_1 \times A_2 \times .. \times A_n \in \mathcal{B}^n \end{eqnarray*}$ in der Borelalgebra: $\begin{eqnarray*} \mu(A)= \int_A f(x) d^n (x)= \int_{A_1} \cdots \int_{A_n} f(x_1,..,x_n) dx_1\ldots dx_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mu_1 \otimes \cdots \otimes \mu_n (A)= \mu_1 (A_1)*\dots*\mu_n(A_n)= \int_{A_1} f_1(x_1) dx_1 \dots \int_{A_n} f_n(x_n) dx_n= \int_{A_1} \cdots \int_{A_n} \prod_{i=1}^n f_i(x_i) d x_i \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} f_{X} (x)= f_1 (x_1)* \cdots f_n(x_n) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \mu= \mu_1 \otimes \cdots \otimes \mu_n. \end{eqnarray*}$
Aber brauch ich für die Rückrichtung nicht Stetigkeit der Dichtefunktion um herzuleiten, dass die Integranden auch gleich sind bei gleichen Integralen?

21.11.2016, 07:44

Zündholz

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RE: Unabhängigkeit Dichte
Hallo,
wie du schreibst

Zitat:

Original von StrunzMagi

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} X_1,..,X_n \end{eqnarray*}$ genau dann unabhängig ist wenn $\begin{eqnarray*} \mu= \mu_1 \otimes ... \otimes \mu_n \end{eqnarray*}$

Die eine Richtung passt und die andere Richtung steht eigentlich auch schon da:

$\begin{eqnarray*} \mu(A)= \int_A f(x) d^n (x)= \int_{A_1} \cdots \int_{A_n} f(x_1,..,x_n) dx_1\ldots dx_n = \int_{A_1} \cdots \int_{A_n} \prod_{i=1}^n f_i(x_i) d x_i = \mu_1 \otimes \cdots \otimes \mu_n (A) \end{eqnarray*}$

Schöne Grüße

29.11.2016, 00:23

StrunzMagi

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So zeigst du aber nochmal meine schon erledigte Richtung?
Es geht mir um die Richtung wenn $\begin{eqnarray*} X_1,..,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig dann $\begin{eqnarray*} f(x)=f_1(x_1)*..*f_n(x_n) \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} \int _A f(x) d \lambda^n (x)= \int_{A_1}.. \int_{A_n} f_1(x_1)*..*f_n(x_n) dx_1.. dx_n \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} A=A_1 \times .. \times A_n , f_i \end{eqnarray*}$ Dichtefunktion von $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Dichtefunktion des Vektors $\begin{eqnarray*} X=(X_1,..,X_n) \end{eqnarray*}$ ) kann ja nicht geschlossen werden, dass die Integranten gleich sind.
Sie sind dann nur bis auf eine Nullmenge gleich?

29.11.2016, 10:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Sie sind dann nur bis auf eine Nullmenge gleich?

Mehr kann ja auch nicht nachgewiesen werden, da Dichten sowieso eh nur f.s. eindeutig bestimmt sind. Insofern müsste auch in der Behauptung hier

Zitat:

Original von StrunzMagi
Wieso ist $\begin{eqnarray*} X_1,..,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig äquivalent damit, dass die Dichte von X gleich das Produkt der Dichten von $\begin{eqnarray*} X_1,..,X_n \end{eqnarray*}$ ist?

das "gleich" durch "f.ü. gleich" ersetzt werden.

29.11.2016, 18:42

StrunzMagi

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Danke für die Berichtigung der Aussage.

Ich hätte noch eine Frage:

Zur Definition
Ein Zufallsvektor $\begin{eqnarray*} X=(X_1,..,X_n) \end{eqnarray*}$ heißt absolut stetig wenn $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ eine integrierbare Dichte $\begin{eqnarray*} f \ge 0,f: \mathbb{R}^n \rightarrow [0,\infty) \end{eqnarray*}$ so dass
$\begin{eqnarray*} P(X_1 \le t_1,.., X_n \le t_n)= \int_{-\infty}^{t_1}... \int_{-\infty}^{t_n} f(x) d\lambda_n(x) \end{eqnarray*}$

Ist " $\begin{eqnarray*} X=(X_1,..,X_n) \end{eqnarray*}$ abolsut stetig" und " $\begin{eqnarray*} X_1,..,X_n \end{eqnarray*}$ absolut stetig äquivalent"?

Ich hab nur herausgefuden wenn $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ aboslut stetig sind und $\begin{eqnarray*} X_1,..,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig so folgt $\begin{eqnarray*} X=(X_1,..,X_n) \end{eqnarray*}$ absolut stetig:
Da $\begin{eqnarray*} F(t_1,..,t_n)=F_1 (t_1)*...*F_n(t)= \int_{-\infty}^{t_1} f_1 (x_1) dx_1... \int_{-\infty}^{t_n} f_n(x_n) dx_n= \int_{-\infty}^{t_1}... \int_{-\infty}^{t_n} f_1(x_1)*..*f_n(x_n) dx_1.... dx_n \end{eqnarray*}$

29.11.2016, 18:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Ist " $\begin{eqnarray*} X=(X_1,..,X_n) \end{eqnarray*}$ abolsut stetig" und " $\begin{eqnarray*} X_1,..,X_n \end{eqnarray*}$ absolut stetig äquivalent"?

Es ist nicht äquivalent: Nehmen wir z.B. den einfachen Fall $\begin{align*} X_2=X_1 \end{align*}$ (also nicht nur identisch verteilt, sondern wirklich identisch), dann gilt ja $\begin{align*} P((X_1,X_2)\in D) = 1 \end{align*}$ für die Winkelhalbierende $\begin{align*} D= \{ (t,t) \mid t\in\mathbb{R}\} \end{align*}$ , und für deren zweidimensionales Lebesgue-Maß gilt ja offenbar $\begin{align*} \lambda^{(2)}(D)=0 \end{align*}$ . Damit ist klar, dass dieses $\begin{align*} (X_1,X_2) \end{align*}$ keine zweidimensionale Lebesgue-Dichte besitzt, und damit auch nicht absolutstetig ist.

Immerhin stimmt die Hinrichtung.

10.12.2016, 16:00

StrunzMagi

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Hallo,
Ich dachte vor ner Woche ich hätte es verstanden, aber leider war meine Überlegung falsch.Ich hoffe es ist okay, dass ich deshalb die Frage nochmal reaktiviere... Augenzwinkern

Warum kann $\begin{eqnarray*} X=(X_1,X_1) \end{eqnarray*}$ in dem Bsp. nicht absolut stetig sein?
Gäbe es eine gemeinsame Dichte so würde gelten: $\begin{eqnarray*} P(X \in A)= \int_A f(x) d \lambda^2 (x) \end{eqnarray*}$
Insbesondere für deine Menge D: $\begin{eqnarray*} 1=P(X\in D)= \int_D f(x) d \lambda^2 (x) \end{eqnarray*}$
Ich hatte irrtümlich f durch 1 abgeschätzt aber das darf ich ja gar nicht? Ich weiß ja nur $\begin{eqnarray*} 0=\lambda^2(D)=\int_{D} d \lambda^2 (x) \end{eqnarray*}$ und außerdem $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^2} f(x) d \lambda^2 (x)=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f \ge 0 \end{eqnarray*}$ .

10.12.2016, 16:09

HAL 9000

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So richtig hast du die Definition von Absolutstetigkeit $\begin{align*} \mu\ll \lambda \end{align*}$ (als Voraussetzung des Satzes von Radon-Nikodym, der die Existenz von Dichten betrachtet) nicht parat, wir müssen sie wohl hier wiederholen:

Für alle meßbaren Mengen $\begin{align*} A \end{align*}$ mit $\begin{align*} \lambda(A)=0 \end{align*}$ muss $\begin{align*} \mu(A)=0 \end{align*}$ gelten.

Das von mir genannte $\begin{align*} D \end{align*}$ erfüllt diese Eigenschaft offenbar nicht, also gilt nicht $\begin{align*} P_X\ll \lambda \end{align*}$ , und somit existiert auch keine Dichte $\begin{align*} f_X \end{align*}$ mit $\begin{align*} \dd P_X = f_X~ \dd\lambda \end{align*}$ . unglücklich

10.12.2016, 16:15

StrunzMagi

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Naja wir hatten den Satz sowie diese Definition auch nicht - war ja auch keine Maßtheorie- sondern eine Wahrscheinlichkeitstheorie-vorlesung. Geht das mit unserer "einfachen" Definition nicht herauszufinden?
Danke für deine schnelle Hilfe.

10.12.2016, 16:18

HAL 9000

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Immer diese "maßlose" Stümperei. Kotzen

Wie definiert "ihr" denn überhaupt, was ein (bzgl. des Lebesgue-Maßes) absolutstetiger Zufallsvektor ist?

EDIT: Ah, Ok, steht oben - über die Existenz der Dichte. Na dann gib doch mal eine Dichte hier an für mein Beispiel.

10.12.2016, 16:32

StrunzMagi

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Wir haben Maßtheorie eben erst im Master und Wahrscheinlichkeitstheorie im Bachelor. Das ist das Problem.

Ich habe leider nur das was ich in Beitrag: 29.11.2016 18:42 geschrieben habe (Existenz der Dichtefunktion)
ftp://ftp.stat.math.ethz.ch/Teaching/kuensch/skript-einf.pdf
S.46 (intern S.42) oben für Zufallsvariable und S.55(intern S.51) am Ende für Zufallsvektoren.

10.12.2016, 16:34

HAL 9000

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Wenn man so fundamentaler Werkzeuge wie des Satzes von Radon-Nikodym beraubt wird, dann lässt sich schlecht ein Umweg finden. Die im Wiki-Beitrag erwähnte "zentrale Bedeutung" ist keine Übertreibung.

Tut mir leid, mir ist meine Zeit zu schade, mich durch dein Vorlesungsskript zu graben - finde selbst einen Umweg, wenn du so einen brauchst.

10.12.2016, 16:42

StrunzMagi

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Es war nur eine Frage die mich interessiert hat, ist ja kein Problem, wenn sich die erst später für mich löst. Man weiß ja meist vorher nicht wie weit einen eine Frage führt.
Die Seitenangaben waren nur meine beiden Definitionen.

LG,
MaGi

10.12.2016, 16:45

HAL 9000

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Ok, ein Versuch, den man braucht ja nicht wirklich den gesamten Radon-Nikodym:

Weise nach, dass $\begin{align*} \int\limits_D f(x) ~ \dd\lambda(x) = 0 \end{align*}$ für alle messbaren $\begin{align*} f \end{align*}$ sowie alle $\begin{align*} D \end{align*}$ mit $\begin{align*} \lambda(D)=0 \end{align*}$ gilt.

Dann sollte das o.g. Gegenbeispiel endlich klar sein.

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