Lebesgue-Integrale und Grenzwert vertauschen

20.11.2016, 20:20

Benyamin

Lebesgue-Integrale und Grenzwert vertauschen

Meine Frage:
Hallo,

um folgende Aufgabe geht es:

a) Zeige, dass der Satz über dominierte Konvergenz nicht auf die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} (f_{k})_{k\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_{k}: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_{k}(x):=max\left\{0,1-|x-k| \right\} \end{eqnarray*}$ anwendbar ist.

Berechnen Sie nun für die folgenden Funktionenfolgen den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \int_{A} \! f_{k} \, d\mathbb{L}^{n} \end{eqnarray*}$ , ohne dabei die Integrale der $\begin{eqnarray*} f_{k} \end{eqnarray*}$ zu berechnen:

b) $\begin{eqnarray*} n=1, f_{k}: \left[0,2\pi\right] \to \mathbb R, f_{k}(x):= cos^{k}(x) \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} n=1, f_{k}: (0,\infty ) \to \mathbb R, f_{k}(x):= \frac{1}{x^{2}}\chi_{[k,k+1]}(x) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a) Die Voraussetzungen des Satzes sind ja, dass die $\begin{eqnarray*} f_{k} \end{eqnarray*}$ messbar sind mit $\begin{eqnarray*} f_{k}\to f \end{eqnarray*}$ fast-überall auf A.
Außerdem muss es eine summierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f:A\to [0,\infty) \end{eqnarray*}$ geben, die alle $\begin{eqnarray*} f_{k} \end{eqnarray*}$ dominiert.

Aber wie überprüfe ich das? Aus der Definition der Messbarkeit (Urbild jeder offenen Menge messbar) kann ich hier jetzt nichts machen.
Die Konvergenz gegen f ist erfüllt, für große k gehen sie gegen 0.
Eine Funktion, die alle dominiert wäre doch bereits die 1, oder?

Warum ist der Satz hier also nicht anwendbar?

b) Was ist davon die Grenzfunktion für k gegen unendlich? Ich würde sagen, es ist die charakteristische Funktion der Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ n\pi | n\in \mathbb N _{0} \right\} \end{eqnarray*}$ , weil da der Cosinus 1 wird. Da das aber immer nur Punkte sind, ist das Integral davon doch 0. Da hier der Satz über dominierte Konvergenz anwendbar ist, ist also auch der gefragte Limes 0.

Stimmt das?

c) Hier komome ich leider gar nicht weiter. Unter dieser Funktionenfolge kann ich mir nichts vorstellen. Kann jemand helfen?

Danke im Voraus smile

20.11.2016, 23:00

10001000Nick1

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RE: Lebesgue-Integrale und Grenzwert vertauschen

Zitat:

Original von Benyamin
a) Die Voraussetzungen des Satzes sind ja, dass die $\begin{eqnarray*} f_{k} \end{eqnarray*}$ messbar sind mit $\begin{eqnarray*} f_{k}\to f \end{eqnarray*}$ fast-überall auf A.
Außerdem muss es eine summierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f:A\to [0,\infty) \end{eqnarray*}$ geben, die alle $\begin{eqnarray*} f_{k} \end{eqnarray*}$ dominiert.

Erstmal kannst du nicht den gleichen Namen für die Grenzfunktion und die Majorante verwenden.
Außerdem spricht man eher von Integrierbarkeit, nicht von Summierbarkeit.

Deine Majorante, die konstante Einsfunktion erfüllt dieses Kriterium der Integrierbarkeit nicht.
Du sollst zeigen, dass es keine integrierbare Majorante $\begin{eqnarray*} g: [0,\infty)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt (d.h. $\begin{eqnarray*} \int_{[0,\infty)} \! |g|\, d\mathbb L^1<\infty \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |f_k|\leq g \end{eqnarray*}$ fast überall).

Zitat:

Original von Benyamin
b) [...] Da hier der Satz über dominierte Konvergenz anwendbar ist, ...

Was zu begründen wäre.

Zitat:

Original von Benyamin
c) Hier komome ich leider gar nicht weiter. Unter dieser Funktionenfolge kann ich mir nichts vorstellen.

Dann schreib dir die Funktionen für die ersten paar $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mal konkret hin.

21.11.2016, 09:05

Benyamin

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RE: Lebesgue-Integrale und Grenzwert vertauschen
Danke dir schonmal für deine Antwort.

Ja, da sollte g stehen, das wahr ein Tippfehler.
In meiner Definition des Satzes steht wirklich Summierbarkeit, wobei das (hier) so definiert ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{A} \! g \,d \mathbb L ^{1}<\infty \end{eqnarray*}$

Wenn A jetzt eine unendliche Menge ist, würde das mit der Einsfunktion nicht mehr gehen, das sehe ich ein.

Aber wie beweise ich, dass es keine gibt? Könnte man argumentieren, dass ja für jedes k x immer gleich groß sein könnte, sodass g überall größer/gleich 1 sein müsste und damit nicht summierbar ist?

b) Die $\begin{eqnarray*} f_{k} \end{eqnarray*}$ sind messbar, weil stetig. Sie konvergieren gegen die charakteristische Funktion der Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ n\pi | n\in \mathbb N _{0} \right\} \end{eqnarray*}$ . Sie werden dominiert von der Einsfunktion, die auf $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ ja summierbar ist. Damit ist der Satz anwendbar, und der Limes vom Integral 0.

Finde es auf jeden Fall toll, dass du versuchst mir zu helfen!!

Stimmt das soweit?

21.11.2016, 11:47

10001000Nick1

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RE: Lebesgue-Integrale und Grenzwert vertauschen

Zitat:

Original von Benyamin
Wenn A jetzt eine unendliche Menge ist, würde das mit der Einsfunktion nicht mehr gehen, das sehe ich ein.

Eine unendliche Menge ist eigentlich eine Menge mit unendlich vielen Elementen. Du solltest also "unendliche Menge" durch "Menge vom Maß $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ " ersetzen.

Zitat:

Original von Benyamin
Könnte man argumentieren, dass ja für jedes k x immer gleich groß sein könnte, sodass g überall größer/gleich 1 sein müsste und damit nicht summierbar ist?

Auch hier der Tipp: Skizziere dir die Funktionen mal für die ersten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Dann siehst du, dass eine Majorante nicht überall größer/gleich 1 sein muss.

b) sieht gut aus. Nur zwei kleine Hinweise: Der Definitionsbereich der Funktionen ist $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ , also ersetze lieber die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ n\pi | n\in \mathbb N _{0} \right\} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \left\{ n\pi | n\in \mathbb N _{0}, n\leq 2 \right\}=\{0,\pi,2\pi\} \end{eqnarray*}$ .
Und dann konvergiert die Funktionenfolge nicht überall punktweise gegen die charakteristische Funktion von $\begin{eqnarray*} \{0,\pi,2\pi\} \end{eqnarray*}$ , sondern nur punktweise fast überall (bei $\begin{eqnarray*} x=\pi \end{eqnarray*}$ hast du keine Konvergenz). Aber das reicht ja schon, um den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden zu können.
(Du könntest auch als Grenzfunktion die konstante Nullfunktion angeben. Augenzwinkern

)

21.11.2016, 12:13

Benyamin

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RE: Lebesgue-Integrale und Grenzwert vertauschen
Ich habe die ersten Funktionen in a) jetzt mal skizziert, es ist also ein Dreieck, das immer weiter nach rechts wandert. Die Spitze ist natürlich immer bei 1.
Angenommen es gibt eine Majorante mit den geforderten Voraussetzungen. Die Majorante muss nicht überall größer/gleich 1 sein, aber im Intervall [1, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ doch immer größer/gleich 0,5 sein, weil sich da zwei der "Zacken" immer schneiden. Und da bereits das Integral von der konstanten 0,5-Funktion auf [1, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ unendlich ist, muss es das der Majorante ebenfalls sein. Widerspruch.

Ist das richtig?

21.11.2016, 12:44

10001000Nick1

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Du kannst ja mal nachrechnen, dass tatsächlich $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\int_\mathbb R \! f_k \, d\mathbb L^1 \neq \int_\mathbb R \! f \, d \mathbb L^1 \end{eqnarray*}$ gilt.

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