Legendre Polynome Integrieren

20.11.2016, 20:41	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Legendre Polynome Integrieren Guten Abend, könnte mir bitte jemand die folgende Gleichung Herleiten: $\begin{eqnarray} \int^{1}_{-1} P_n(x)P_m(x)dx=\frac{2}{2n+1} \delta _{nm} \end{eqnarray}$ Ich verstehe warum $\begin{eqnarray} \delta _{nm} \end{eqnarray}$ dort steht und zwar wegen der Orthogonalität. Vorher kommt aber der Vorfaktor. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir das jemand Herleiten könnte. Bei $\begin{eqnarray} P_n,P_m \end{eqnarray}$ handelt es um Legendre Polynome Und warum ist das ganze nur auf [-1,1] definiert? Mfg
22.11.2016, 06:50	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Legendre Polynome Integrieren Niemand ne Idee. Ich finde leider nichts dazu in meinen Büchern
22.11.2016, 09:25	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage 1: Wie leitet man das Normierungsintegral $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{+1}P_m(x)\cdot P_n(x)\,dx=\tfrac{2}{2n+1}\delta_{mn} \end{eqnarray}$ her? Antwort 1: Das ist nicht trivial, weshalb die Herleitung in den meisten Büchern nicht durchgeführt wird. Zum Beweis benötigt man die "Formel von Rodrigues". Damit lassen sich die Legendreschen Polynome als n-te Ableitung einer Potenzfunktion wie folgt darstellen: $\begin{eqnarray} P_n(x)=\tfrac{1}{2^nn!}\cdot \tfrac{d^n}{dx^n} [(x^2-1)^n] \end{eqnarray}$ (Quelle: Siehe Suchbegriff "Legendre-Polynome" unter WIKIPEDIA) Setzt man dies in das obige Integral ein, kommt man mit partieller Integration auf den Beweis. Danach stellt sich natürlich sofort die Frage: Wie kommt man auf die Formel von Rodrigues? Solche "Formeln von Rodrigues" gibt es übrigens auch für andere Orthogonal-Systeme. --------------------------------------------------------------------- Frage 2: Warum sind die Legende-Polynome nur auf [-1;+1] definiert? Antwort 2: Ursprünglich treten die Legendre-Polynome $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ bei der Herleitung der Kugelflächenfunktion auf (Siehe Suchbegroff "Kugelflächenfunktion" unter WIKIPEDIA). Dort haben diese Polynome aber nicht das Argument x, sondern das Argument $\begin{eqnarray} \cos(\alpha) \end{eqnarray}$ und lauten folglich $\begin{eqnarray} P_n[\cos(\alpha)] \end{eqnarray}$ . Da die Kosinus-Funktion nur im Intervall [-1;+1] variiert, ist dies auch das Intervall, worauf die Legendre-Polynome $\begin{eqnarray} P_n(x) \end{eqnarray}$ definiert sind.

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