Ringhomomorphismus - f(0)=0 ; f(-a)=-f(a)

21.11.2016, 15:53	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringhomomorphismus - f(0)=0 ; f(-a)=-f(a) Meine Frage: Ich habe mal wieder eine Frage zu einer Aufgabe unserer wöchentlichen Hausübung Es seien $\begin{eqnarray} (R,+,\cdot) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (S,\oplus,\otimes) \end{eqnarray}$ Ringe und f: R-->S ein Ringhomomorphismus. So soll ich zeigen, dass folgende Aussagen gelten (a) $\begin{eqnarray} f(0_{R})=0_{S} \end{eqnarray}$ hier entspricht 0 dem additiv neutralem Element. (b) $\begin{eqnarray} f(-a)=-f(a) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a \in R \end{eqnarray}$ (c) Ist f bijektiv, so ist auch die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ :S-->R ein Ringhomomorphismus. Meine Ideen: Zuersteinmal die Definition für Ringhomomorphismus mit $\begin{eqnarray} x,y\in R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x+y)=f(x) \oplus f(y) \land f(x \cdot y)=f(x) \otimes f(y) \end{eqnarray}$ (a) $\begin{eqnarray} 0_{R}=0_{R} + 0_{R} \Rightarrow f(0_{R})=f(0_{R} + 0_{R})=f(0_{R}) \oplus f(0_{R}) \end{eqnarray}$ somit gilt $\begin{eqnarray} 0_{S}=f(0_{R})^{-1} \oplus f(0_{R})=f(0_{R})^{-1} \oplus(f(0_{R}) \oplus f(0_{R})) = (f(0_{R})^{-1} \oplus f(0_{R})) \oplus f(0_{R}) = 0_{S} \oplus f(0_{R}) = f(0_{R}) \end{eqnarray}$ Kann ich das so beweisen? Bzw. ist es egal ob ich via den Eigenschaften von "+" oder " $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ " beweise? (b) Hier stehe ich irgendwie auf dem Schlauch, kann ich irgendwie so einen Beweis machen $\begin{eqnarray} f(-x+x)=f(-x)\oplus f(x)=f(0_{R})=0_{S} \land f(x-x)=f(x)\oplus f(-x)=f(0_{R})=0_{S} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} f(x)-f(x)=0_{S} \end{eqnarray}$ somit ist $\begin{eqnarray} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray}$ ? (c) Seien $\begin{eqnarray} a,b \in S \end{eqnarray}$ dann sei $\begin{eqnarray} f(x)=a \land f(y)=b \end{eqnarray}$ somit soll gelten $\begin{eqnarray} f^{-1}(a\oplus b)=f^{-1}(a) + f^{-1}(b) \end{eqnarray}$ . Es gilt wegen $\begin{eqnarray} f(x)\oplus f(y)=f(x+y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{-1}(a\oplus b)=f^{-1}(f(x+y))=f^{-1}(f(x) \oplus f(y))=x + y = f^{-1}(f(x)) + f^{-1}(f(y))=f^{-1}(a) + f^{-1}(b) \end{eqnarray}$ Falls das so richtig ist, geht es dann nicht genau so für die mal-Verknüpfung? Sozusagen Es gilt wegen $\begin{eqnarray} f(x)\otimes f(y)=f(x \cdot y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{-1}(a\otimes b)=f^{-1}(f(x \cdot y))=f^{-1}(f(x) \otimes f(y))=x \cdot y = f^{-1}(f(x)) \cdot f^{-1}(f(y))=f^{-1}(a) \cdot f^{-1}(b) \end{eqnarray}$ Kann auch sein das ich mit allem total daneben liege, habe hier viel in Relation zu vorherigen Beweisen für Gruppenhomomorphismen behandelt, da ja das "+" eh eine abelsche Gruppe bildet.
22.11.2016, 17:00	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
wäre schön wenn sich jemand dem annehmen könnte :/
23.11.2016, 11:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Der Beweis ist nach der ersten Zeile fertig, weil es auch in $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ genau ein Nullelement gibt. Der Rest ist irgendwo zwischen unnötig und falsch. Es gilt in jeder Gruppe (also auch in der additiven Gruppe eines Rings $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} x\in S,x=x+x\Rightarrow x=0 \end{eqnarray}$ b) muss man etwas umschreiben: Sei $\begin{eqnarray} a\in R \end{eqnarray}$ dann gilt $\begin{eqnarray} 0_S=f(0_R)=f(a-a)=f(a)+f(-a)\Rightarrow f(-a)=-f(a) \end{eqnarray}$ , weil in $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ das zu $\begin{eqnarray} f(a) \end{eqnarray}$ inverse Element eindeutig bestimmt ist. c) Den jeweils dritten Term von links musst Du weglassen, dann ist der Beweis in Ordnung (weniger ist manchmal mehr )

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