Werfen mit zwei Würfeln - Kombinatorik + Wahrscheinlichkeit

21.11.2016, 18:19	Dr. Inkognito	Auf diesen Beitrag antworten »
Werfen mit zwei Würfeln - Kombinatorik + Wahrscheinlichkeit Hallo, ich habe gerade folgende Aufgabe vorliegen: Zwei homogene Würfel werden einmal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten des folgenden Ereignisses: $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ : Die Augensumme beträgt 7. Meine konkrete Lösung soll nun mithilfe von Kombinatorik erfolgen. Anscheinend ist es wohl so, dass die Reihenfolge der Würfe eine große Rolle spielt, jedoch verstehe ich nicht warum. Im Prinzip möchte ich einfach die Mächtigkeit des Ergebnisraums $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ und die Mächtigkeit von A bestimmen, dann wäre die Wahrscheinlichkeit einfach $\begin{eqnarray} \frac{\|A\|}{\|\Omega\|} \end{eqnarray}$ Offensichtlich liegt hier eine Wiederholungsmöglichkeit vor, die Frage ist nun ob das eine Variation oder Kombination ist. Meiner Meinung nach hätte man diese Aufgabe mit beiden Möglichkeiten lösen können, jedoch funktioniert es bei mir nicht mit der Kombination. Ich mach es zunächst richtig mit der Variation: Wir haben also eine Variation mit Wiederholung der Klasse "2 von 6". Also $\begin{eqnarray} 6^2 = 36 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten. Für die Menge A schreibe ich alle möglichen Tupel auf: {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} Das sind 6 Stück. Wir rechnen 6/36, das gibt 1/6, was dann die korrekte Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist. Jetz mit der falschen Kombination: Ich sag wir können genauso gut 2 Würfel werfen, wie 2 Kaugummis kaufen, wobei es 6 mögliche Sorten gibt. Die Kombinatorische Formel dafür ist dann die Kombination mit Wiederholung der Klasse "2 von 6" Also nach Formel: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 6+2-1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix} =<br /> \frac{7!}{5!2!} = \frac{67}{2} = 37 = 21 \end{eqnarray*}$ Dann denk ich mir die Möglichkeiten: {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} War für Variation. Dann müsste man wahrscheinlich alles wegschmeißen, wo die Reihenfolgen vertauscht sind. Dann blieben wir mit {{1, 6}, {2, 5}, {3, 4}} = A Ich komm auf 3/21 = 1/7 Wie kann man bitte mit zwei Verfahren auf unterschiedliche Ergebnisse kommen? Ich bitte um Hilfe
21.11.2016, 18:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein rechtwinkliges Dreieck habe die Seiten $\begin{align} a=3, b=4, c=5 \end{align}$ . Sein Flächeninhalt ist einmal $\begin{align} F = \frac{1}{2} ab = 6 \end{align}$ einmal $\begin{align} F = \frac{1}{2} bc = 10 \end{align}$ Wie kann man mit zwei Verfahren auf unterschiedliche Ergebnisse kommen?
21.11.2016, 19:28	Dr. Inkognito	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für die Antwort. Interessante Aufgabe. Ich denke, es liegt daran, dass nicht definiert wurde, zwischen welchen zwei Seiten der rechte Winkel liegt. Wurde auch in meiner obigen Aufgabe etwas nicht explizit definiert? o.o Kleiner Zusatz: Wurde vielleicht nicht definiert ob wir die Würfel gleichzeitig oder nacheinander werfen? .. hehe kein Plan rate jetz nur
21.11.2016, 19:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Flächenformel gilt nur für rechtwinklige Dreiecke und nur für das halbe Produkt der beiden Katheten. Beim zweiten Ansatz wurde aber die Hypotenuse verwendet. Das ist schlicht falsch. Man kann eine Formel nicht anwenden, wenn die Situation nicht vorliegt, in der sie gilt. Du kannst auch keine Kreisfläche mit der Flächenformel für ein Quadrat berechnen. Die Laplace-Formel gilt nur, wenn die einzelnen Ausgänge des Zufallsexperiments gleichwahrscheinlich sind. Nun hat aber jeder Würfel eine eigene Identität und zeigt unabhängig vom andern eine der Augenzahlen von 1 bis 6. Auch wenn die Würfel für dich vielleicht gleich aussehen, sie sind zu unterscheiden. Vielleicht ist es hilfreich, wenn du dir unterschiedliche Farben vorstellst, einen grünen und einen roten Würfel. Jetzt kann beim Werfen der grüne Würfel 2 und der rote 5 zeigen. Es könnte aber auch der grüne Würfel 5 und der rote 2 zeigen. Diese beiden Ausgänge mußt du extra zählen. In deinem zweiten Ansatz zählst du sie aber, als wären sie einer. Du hast dort 21 Ausgänge, 6 Paschs und $\begin{align} (36-6):2 = 15 \end{align}$ Nichtpaschs. So kommen ja die 21 Möglichkeiten zustande. Ein Pasch kann aber nur auf eine Art realisiert werden, die Zahlenkombination 25 (ohne Reihenfolge) aber auf zwei Arten: 25 und 52 (mit Reihenfolge). Und damit sind die Ausgänge nicht gleichwahrscheinlich. Wenn du mit deinen 21 Möglichkeiten arbeiten willst, mußt du jedem Pasch die Wahrscheinlichkeit $\begin{align} \frac{1}{36} \end{align}$ und jedem Nichtpasch die doppelte Wahrscheinlichkeit $\begin{align} \frac{2}{36} \end{align}$ geben. Für das Ereignis $\begin{align} A = \text{Augensumme 7} = \left\{ 16,25,34 \right\} \end{align}$ wäre die Wahrscheinlichkeit $\begin{align} P(A) = \frac{2}{36} + \frac{2}{36} + \frac{2}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \end{align}$ Und für $\begin{align} B = \text{Augensumme 6} = \left\{ 15,24,33 \right\} \end{align}$ wäre die Wahrscheinlichkeit $\begin{align} P(B) = \frac{2}{36} + \frac{2}{36} + \frac{1}{36} = \frac{5}{36} \end{align}$
21.11.2016, 20:50	Dr. Inkognito	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, vielen dank für deine Erklärung, mehr ist da wirklich nicht mehr zu sagen. Ich habs jetzt verstanden.
22.11.2016, 16:56	Stefan_MTK	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold Wie bekommen ich denn heraus ob ich die Würfel "Farbig" betrachten muss ?
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