Hinreichende Kriterien stochastische Ordnung

21.11.2016, 21:44

Antique

Hinreichende Kriterien stochastische Ordnung

Meine Frage:
Gegeben seien Zufallsvariablen X, Y mit Dichten $\begin{eqnarray*} f_X, f_Y \end{eqnarray*}$ und Ausfallsraten $\begin{eqnarray*} h_X , h_Y \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie folgende hinreichende Kriterien für die stochastische Ordnung $\begin{eqnarray*} \leq_{st} \end{eqnarray*}$ :
a) Ist $\begin{eqnarray*} h_X(t) \geq h_Y(t) \end{eqnarray*}$ für alle t, so gilt $\begin{eqnarray*} X \leq_{st} Y \end{eqnarray*}$ .
b) Gibt es ein $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_X(t) \geq f_Y(t), t<t_0 \\ f_X(t) \leq f_Y(t), t>t_0 \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} X \leq_{st} Y \end{eqnarray*}$ .
c) Ist $\begin{eqnarray*} t \mapsto \frac{f_Y(t)}{f_X(t)} \end{eqnarray*}$ monoton wachsend, so gilt $\begin{eqnarray*} X \leq_{st} Y \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also $\begin{eqnarray*} X \leq_{st} Y \Leftrightarrow F_X(t) \geq F_Y(t) \Leftrightarrow \bar F_X(t) \leq \bar F_Y(t) \end{eqnarray*}$
Und $\begin{eqnarray*} h_X(t) = \frac{f_X(t)}{\bar F_X(t)} \end{eqnarray*}$

Ich glaube ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Eigentlich muss ich doch nur clever umstellen..
Aber ich komme da nicht weiter, und das wurmt mich gerade sehr.

Vielen Dank für jede Hilfe!

22.11.2016, 08:36

Zündholz

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RE: Hinreichende Kriterien stochastische Ordnung
Hallo,
bei (a) sehe ich das Argument auch noch nicht. Allerdings kann ich bei (b) und (c) helfen:
(b) folgt nach dem gleichen Argument wie (c) und (c) gilt, da:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^t f_Y(s) ds \le \int_{-\infty}^t f_X(s) ds, \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} t < t_0:= \sup\{t: \ f_Y(s) \le f_X(s)\}, \end{eqnarray*}$ aufgrund der Monotonie des Quotienten: $\begin{eqnarray*} t < t_0 \end{eqnarray*}$ impliziert $\begin{eqnarray*} f_Y(t) \le f_X(t) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} t \ge t_0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f_X(t) \le f_Y(t) \end{eqnarray*}$ und damit folgt die Behauptung.

Schne Grüße

22.11.2016, 09:11

HAL 9000

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Bei (a) kann man den den Zusammenhang

$\begin{align*} \bar{F}_X(t) = \exp\left(-\int\limits_{-\infty}^t h_X(\tau) ~ \dd\tau \right) \end{align*}$

nutzen, und dann mit ähnlichen Argumenten wie von Zündholz vorgebracht sowie der Monotonie der Exponentialfunktion argumentieren.

22.11.2016, 10:32

Antique

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Vielen Dank!
Die a) muss ich mir dann noch genauer anschauen.

Eine Frage habe ich noch:
Wieso folgt denn am Ende direkt die Behauptung, müsste es nicht anders rum sein?

22.11.2016, 10:46

Antique

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RE: Hinreichende Kriterien stochastische Ordnung
Ah, ich habe es wohl.

Mich hat nur

Zitat:

Original von Zündholz
Für $\begin{eqnarray*} t \ge t_0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f_X(t) \le f_Y(t) \end{eqnarray*}$

verwirrt.

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