Orthogonalität von Vektoren: Unterschied in der Berechnung

22.11.2016, 13:42	LexDex	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalität von Vektoren: Unterschied in der Berechnung Meine Frage: Hallo, ich möchte nachfragen ob die beiden folgenden Lösungen zu der Frage "Berechnen sie alle Vektoren im R³, die zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ orthogonal sind." beide äquivalent sind, oder ob es bei der Lösungswegwahl etwas zu beachten gilt. Meine Ideen: Lösungsweg 1: $\begin{eqnarray} I : x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} II : 2x_{1} - 2x_{2} + x_{3} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} III := I + II : 3x_{1} + 4x_{3} = 0 \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} r \in R \wedge x_{3} = r \end{eqnarray}$ : In $\begin{eqnarray} III: 3x_{1} + 4r = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1} = - \frac{4}{3}r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I: - \frac{4}{3}r + 2x_{2} + 3r = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2} = - \frac{5}{6}r \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} x_{1} = - \frac{4}{3}r , x_{2} = - \frac{5}{6}r, x_{3} = r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r\begin{pmatrix} - \frac{4}{3} \\ - \frac{5}{6}\\ 1\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Antwort: Die Vektoren $\begin{eqnarray} r\begin{pmatrix} - \frac{4}{3} \\ - \frac{5}{6}\\ 1\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r \in R \end{eqnarray}$ sind Orthogonal zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Lösungsweg 2: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix} \Rightarrow r \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Antwort: Die Vektoren $\begin{eqnarray} r \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r \in R \end{eqnarray}$ sind Orthogonal zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
22.11.2016, 14:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne genauer hinzusehen ist schon klar, dass die Lösungen identisch sind. Der 2. Weg ist erfreulich kurz. Ich würde die Lösungsmenge aufschreiben : $\begin{eqnarray} \{r\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix}:r\in\mathbb R\} \end{eqnarray}$
22.11.2016, 16:56	LexDex	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Klarstellung und den Tipp mit der Lösungsmenge. Damit hat sich meine Frage geklärt.
22.11.2016, 19:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sogenannte Kreuzprodukt $\begin{eqnarray} x\times y \end{eqnarray}$ zweier Vektoren $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ benutzen Physiker gern. Es ist ein Vektor, der senkrecht auf den Vektoren $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ steht und lässt sich schnell berechnen. ( https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt )

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