Oberer Halbkreis (Integral)

22.11.2016, 16:06	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Oberer Halbkreis (Integral) Berechne das Integral $\begin{eqnarray} \int_{B}^{} \! x^2 y \, dx dy \end{eqnarray}$ wobei B der obere Halbkreis mit Radius 2 um (0,0) ist. Es gilt ja für den Kreis $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 =r^2 = 4 \end{eqnarray}$ Die Funktion die den oberen Halbkreis beschreibt wäre ja dann $\begin{eqnarray} \int_{-r=-2}^{r=2} \! \sqrt{r^2-x^2} \, dx =......= \frac{\pi }{2} \end{eqnarray}$ Wie setzt ich dann aber mein Ergebnis in mein zu berechenendes Integral ein? Oder bin ich komplett vom falschen Ansatz ausgegangen?
22.11.2016, 16:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst zu den Begrifflichkeiten: Der Halbkreis ist (wie der Kreis) nur eine Linie. Du willst aber sicher über die zugehörige Fläche integrieren, das wäre dann die Halbkreisscheibe. Es ist $\begin{align} B = \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2{\color{red}\leq} 2^2,\, y\geq 0 \right\} \end{align}$ diese Halbkreisscheibe. Für festes $\begin{align} x\in[-2,2] \end{align}$ ist dann $\begin{align} y \end{align}$ limitiert gemäß $\begin{align} 0\leq y\leq \sqrt{4-x^2} \end{align}$ . Dementsprechend ist $\begin{align} \iint\limits_B x^2y ~ \dd y ~ \dd x = \int\limits_{-2}^2 \int\limits_0^{\sqrt{4-x^2}} x^2y ~ \dd y ~ \dd x \end{align}$ .
22.11.2016, 18:18	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke HAL9000 Ich habe noch eine ähnliche Aufgabe: Berechne das Integral $\begin{eqnarray} \int_{B}^{} \! xy \, dx dy \end{eqnarray}$ diejenige beschränkte Teilmenge der Ebene ist, welche von der Parabel $\begin{eqnarray} y= x^2 \end{eqnarray}$ und von der Geraden $\begin{eqnarray} y= x+2 \end{eqnarray}$ eingeschlossen wird Mein x muss doch dann zwischen den Schnittpunkten der beiden Funktionen sein also: $\begin{eqnarray} x\in \left[-1,2\right] \end{eqnarray}$ Mein y Teil dann von x abhängen: also $\begin{eqnarray} 0\leq y\leq x^2-x-2 \end{eqnarray}$ also insgesamt: $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{2} \int_{0}^{x^2-x-2} \! xy \, dy dx \end{eqnarray}$ ist das so ok?
22.11.2016, 18:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Integrationsgrenzen im inneren Integral stimmen nicht. Du mußt bei der Parabel beginnen und bei der Geraden enden (Zeichnung).
22.11.2016, 19:15	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
D.h dann also von x^2 bis x+2

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