Lineare Operatoren

22.11.2016, 16:38	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Operatoren Hallo zusammen, ich soll überprüfen ob folgende Operatoren linear sind: $\begin{eqnarray} (A_1\phi)(x)=x^3\phi(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (A_2\phi)(x)=x\frac{d\phi(x)}{dx} \end{eqnarray}$ ... Um zu zeigen das ein Operator linear ist muss ich zeigen das $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ homogen und additiv ist. I. $\begin{eqnarray} A(\lambda x)=\lambda A(x) \end{eqnarray}$ II. $\begin{eqnarray} A(x+y)=A(x)+A(y) \end{eqnarray}$ Ich fange mit $\begin{eqnarray} (A_1\phi)(x) \end{eqnarray}$ an. I. Homogenität: $\begin{eqnarray} A_1\phi(\lambda x)=(\lambda x)^3\phi( \lambda x) \end{eqnarray}$ Das bekomme ich nicht auf die Form $\begin{eqnarray} \lambda A_1\phi(x) \end{eqnarray}$ und damit müsste die Homogenität verletzt sein. Damit müsste es kein linearer Operator sein. Wäre das so korrekt? Vielen Dank!
22.11.2016, 19:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt drauf an, über welchem Körper der Vektorraum liegt. Für $\begin{eqnarray} \lambda\in \mathbb F_2=\{0,1\} \end{eqnarray}$ ist die Homogenität nicht verletzt.
22.11.2016, 20:01	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, es handelt sich hierbei um Elemente aus dem Hilbertraum. Das heißt es werden auch komplexe Zahlen betrachtet. Ist das Vorgehen erstmal so richtig? Wie schaut es in dem Fall aus? Vielen Dank!
22.11.2016, 20:17	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der Operator wirkt nicht auf x, sondern auf $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ . Man muss sich also anschauen, was $\begin{eqnarray} A_1(\lambda \phi)(x) \end{eqnarray}$ ist, nicht was $\begin{eqnarray} A_1\phi(\lambda x) \end{eqnarray}$ ist.
22.11.2016, 20:32	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Guppi12, warum ist das so komisch und unnötig verkompliziert aufgeschrieben. Hat das einen tieferen Hintergrund der noch nicht ersichtlich ist? Für die Homogentität erhalte ich dann: $\begin{eqnarray} (A_1\lambda\phi)(x)=x^3\lambda\phi(x)=\lambda x^3\phi(x)=\lambda(A_1\phi)(x) \end{eqnarray}$ Damit gilt die Homogenität. Zur Linearität. Hier gilt es zu zeigen: $\begin{eqnarray} f(a+b)=f(a)+f(b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (A_1(a+b)\phi)(x)=x^3(a+b)\phi(x)=(a+b)x^3\phi(x)=(a+b)(A_1\phi(x)<br /> =a(A_1\phi)(x)+b(A_1\phi)(x) \end{eqnarray}$ Damit gilt auch die Linearität und der Operator $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ ist linear? Danke!
22.11.2016, 20:36	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde nicht, dass das merkwürdig aufgeschrieben ist. Wie sollte man es denn sonst aufschreiben, hast du einen Alternativvorschlag? Homogenität ist richtig. Was du da für die Additivität gemacht hast, kann ich nicht nachvollziehen. Was sind hier auf einmal a,b? Du brauchst zwei Funktionen $\begin{eqnarray} \phi,\psi \end{eqnarray}$ .
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22.11.2016, 20:46	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht liegt es auch daran das ich die Notation noch nicht ganz nachvollzogen habe. Der Operator $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ wirkt auf die Funktion $\begin{eqnarray} \phi(x) \end{eqnarray}$ So ist das in Sprache gebracht? Dann gilt also zu zeigen $\begin{eqnarray} A(\phi+\psi)(x)=A(\phi)(x)+A(\psi)(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_1(\psi+\phi)(x)=x^3(\phi+\psi(x))=x^3\psi(x)+x^3\phi(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(A_1\psi)(x)+(A_1\phi)(x) \end{eqnarray}$ Damit gilt Linearität ... So müsste es passen? Danke!
22.11.2016, 21:31	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt jetzt. Die Verwirrung kommt evt. durch die (nicht so tolle) Angewohnheit zu Stande, $\begin{eqnarray} \phi(x) \end{eqnarray}$ zu schreiben, wenn man eigentlich die Funktion $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ meint. $\begin{eqnarray} \phi(x) \end{eqnarray}$ ist garkeine Funktion, sondern der Funktionswert von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Vielleicht wird es klarer, wenn man $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ so definiert (ich nehme jetzt einfach mal an, dass der auf einem $\begin{eqnarray} C[a,b] \end{eqnarray}$ definiert ist, weil du nichts dazu gesagt hast): $\begin{eqnarray} A_1:C[a,b]\to C[a,b],\phi\mapsto A_1\phi \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} (A_1\phi):[a,b]\to \mathbb K, x\mapsto x^3\phi (x) \end{eqnarray}$ .

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