Grenzwert

22.11.2016, 17:10

Dancelll

Grenzwert

Meine Frage:
Hi zusammen ich häng hier gerade daran folgende Grenzwerte zu bestimmen.

1) lim (x-> inf ) x^(1/x)
2)lim (x -> 0, x>0) ln(x)/cot(x)

mit dem Satz von l'hospital komme ich da nicht weiter glaube ich ...

Meine Ideen:
ich habe x^(1/x) als (1/x)*x^((1-x)/x)) geschrieben und versucht l'hospital anzuwenden

22.11.2016, 21:37

mYthos

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Zitat:

Original von Dancelll
...
ich habe x^(1/x) als (1/x)*x^((1-x)/x)) geschrieben ..

Das ist erstens nicht richtig und führt zweitens nicht weiter ..

1)

$\begin{eqnarray*} y = x^{\frac 1 x} \end{eqnarray*}$

Bestimme zunächst als Zwischenergebnis den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \ln y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln y = \frac{\ln x} x \end{eqnarray*}$ .. mittels L'Hospital, danach den Grenzwert von y als e-Potenz dieses Zwischenergebnisses

2)

Forme den Term um zu

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln x}{(\tan x)^{-1}} \end{eqnarray*}$ und wende L'Hospital zwei Mal an.

mY+

23.11.2016, 14:13

HAL 9000

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Bei 2) wäre auch ein Weg über die Zerlegung

$\begin{align*} \frac{\ln(x)}{\cot(x)} = x\ln(x) \cdot \frac{\sin(x)}{x}\cdot \frac{1}{\cos(x)} \end{align*}$

ganz gut möglich: Der zweite und dritte Faktor konvergieren jeweils gegen 1, und beim ersten ist L'Hospital $\begin{align*} \lim_{x\to +0} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} \end{align*}$ wenig rechenlastig.

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