Konvergenz

22.11.2016, 23:26

Claudia12

Konvergenz

Meine Frage:
Hi Liebe Leute. Ich habe folgende Aufgabe:

wie kann ich diese Lösen ?

Meine Ideen:
kann mir jemand irgendeinen Tipp geben bitte ?

23.11.2016, 10:30

claudia12

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RE: Konvergenz
kann mir keiner helfen ? unglücklich

23.11.2016, 11:11

Matt Eagle

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RE: Konvergenz
Induktiv folgt aus den Vor.

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|\leq q^n|a_1-a_0|. \end{eqnarray*}$

Außerdem gilt:

$\begin{eqnarray*} | a_{n+1} -a_0| = \left| \sum_{k=0}^n (a_{k+1}-a_k) \right| =\sum_{k=0}^n | a_{k+1}-a_k |. \end{eqnarray*}$

Guck mal ob Du damit was anfangen kannst... smile

23.11.2016, 11:16

klarsoweit

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von Matt Eagle
$\begin{eqnarray*} | a_{n+1} -a_0| = \left| \sum_{k=0}^n (a_{k+1}-a_k) \right| =\sum_{k=0}^n | a_{k+1}-a_k |. \end{eqnarray*}$

Vermutlich eher: $\begin{eqnarray*} \left| \sum_{k=0}^n (a_{k+1}-a_k) \right| \leq \sum_{k=0}^n | a_{k+1}-a_k | \end{eqnarray*}$

23.11.2016, 11:40

claudia12

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Aber du hast nun die dreiecksungleichung angewendet

23.11.2016, 13:06

Huggy

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von claudia12
Was das Vollständigkeitsaxiom ist weiß ich nicht unglücklich

Ohne dieses Wissen kannst du die Aufgabe natürlich nicht lösen. Aber die Aufgabe würde wohl kaum gestellt werden, wenn nicht in der Vorlesung oder dem Skript irgendeine Form des Vollständigkeitsaxioms behandelt worden wäre.

Aus der Aufgabe kann man schließen, dass hier mit Vollständigkeitsaxiom die Aussage gemeint ist, dass jede Cauchyfolge reeller Zahlen wieder eine reelle Zahl repräsentiert. In dem Fall musst du zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge ist. Auf diesen Nachweis laufen auch die Hinweise von Matt Eagle hinaus.

Zitat:

Das darfst du durchaus mit vollständiger Induktion zeigen.

Für (b) empfiehlt sich die Angabe eines Gegenbeispiels.

23.11.2016, 13:17

claudia12

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RE: Konvergenz
Also das verwirrt mich jetzt komplett !

Wie kommt man den jetzt auf |an+1-an| <= q^n |a1-a0| ???

Ich kann nichts anfangen mit diesen dingen tut mir leid

23.11.2016, 13:36

Huggy

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RE: Konvergenz
Indem man mit den gegebenen Vorausetzungen arbeitet und daraus Ideen gewinnt und diese dann zu Beweisen verdichtet. Wenn man sich nur hinstellt und sagt ich bin ganz dumm, ich kann gar nichts, helft mir mal, kommt man nicht weit.

Um mal anzufangen: Die Beziehung

$\begin{eqnarray*} (1) \quad |a_{n+1}-a_n| \leq q|a_n-a_{n-1}| \end{eqnarray*}$

angewendet auf $\begin{eqnarray*} n'=n-1 \end{eqnarray*}$ ergibt:

$\begin{eqnarray*} (2) \quad |a_{n}-a_{n-1}| \leq q|a_{n-1}-a_{n-2}| \end{eqnarray*}$

(2) eingesetzt in (1) ergibt

$\begin{eqnarray*} (3) \quad |a_{n+1}-a_n| \leq q|a_n-a_{n-1}|\leq q^2|a_{n-1}-a_{n-2}| \end{eqnarray*}$

Das sollte einem genügend Hinweise für den Induktionsbeweis geben.

Zitat:

Ich kann nichts anfangen mit diesen dingen tut mir leid

Dann gib das Mathestudium auf. Tut mir auch Leid, das so klar sagen zu müssen.

23.11.2016, 14:02

klarsoweit

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RE: Konvergenz
Vielleicht noch ein Hinweis bezüglich des Vollständigkeitaxioms:

Statt die Differenz $\begin{eqnarray*} |a_{n+1} -a_0| \end{eqnarray*}$ sollte man wohl eher $\begin{eqnarray*} |a_n - a_m| = \left| \sum_{k=m}^{n-1} (a_{k+1}-a_k) \right| \leq \sum_{k=m}^{n-1} |a_{k+1}-a_k| \end{eqnarray*}$ betrachten.

Vielleicht ist das das fehlende Bindeglied im Verständnis der Beweisidee.

@Huggy: ich würde da nicht so vorschnell urteilen.

23.11.2016, 14:12

Huggy

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von klarsoweit
@Huggy: ich würde da nicht so vorschnell urteilen.

Da hast du vielleicht Recht.
Aber so allgemeine negative Aussagen

Zitat:

Ich kann nichts anfangen mit diesen dingen tut mir leid

wecken bei mir den Eindruck, dass man nicht bereit ist, sich mit den Dingen zu beschäftigen und damit meine ich Arbeit hineinzustecken.

23.11.2016, 20:29

claudia12

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RE: Konvergenz
Ich habe die Vollständige Induktion Bewiesen.

Ind-Anfang:

n=1

$\begin{eqnarray*} |a_{2}-a_{1}| <= q |a_{1}-a_{0}| \end{eqnarray*}$

Ind-Schritt:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+2}-a_{n+1} | <= |a_{n+1}-a_n| *q <= q*q^{n+1} |a_1-a_0| \end{eqnarray*}$

somit wäre dies Bewiesen.
Nur ich weiß leider nicht weiter seit mir nicht böse traurig

Ich weiß ich muss irgendwie jetzt eine Abschätzung finden sodass gilt :

$\begin{eqnarray*} |a_{n} - a_{m}| <= Term(q) |a_1-a_0| \end{eqnarray*}$

und der Term q muss ein Term sein der nur von q abhängt

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

24.11.2016, 08:56

klarsoweit

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von claudia12
Ind-Schritt:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+2}-a_{n+1} | <= |a_{n+1}-a_n| *q <= q*q^{n+1} |a_1-a_0| \end{eqnarray*}$

somit wäre dies Bewiesen.

Leider ist das in dieser Form falsch. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+2}-a_{n+1} | \leq q \cdot |a_{n+1}-a_n| \underbrace{\leq}_{I.V.} q \cdot q^n \cdot |a_1-a_0| = q^{n+1} \cdot |a_1-a_0| \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von claudia12
Ich weiß ich muss irgendwie jetzt eine Abschätzung finden sodass gilt :

$\begin{eqnarray*} |a_{n} - a_{m}| <= Term(q) |a_1-a_0| \end{eqnarray*}$

und der Term q muss ein Term sein der nur von q abhängt

Dazu hatte ich schon etwas geschrieben:

Zitat:

Original von klarsoweit
Vielleicht noch ein Hinweis bezüglich des Vollständigkeitaxioms:

Statt die Differenz $\begin{eqnarray*} |a_{n+1} -a_0| \end{eqnarray*}$ sollte man wohl eher $\begin{eqnarray*} |a_n - a_m| = \left| \sum_{k=m}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) \right| \leq \sum_{k=m}^{n-1} |a_{k+1} - a_k| \end{eqnarray*}$ betrachten.

Mit der im vorigen Schritt bewiesenen Ungleichung folgt nun:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=m}^{n-1} |a_{k+1} - a_k| \leq \sum_{k=m}^{n-1} (q^k \cdot |a_1 - a_0|) = |a_1 - a_0| \cdot \sum_{k=m}^{n-1} q^k \end{eqnarray*}$ smile

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