Konvergenz von e

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Martin321 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von e
Meine Frage:
Guten Abend Mathe Freunde wie kann ich zeigen das

xn:= (1+1/n)^n und yn:= (1+1/n)^n+1 Konvergieren undzwar gegen den selben Grenzwert ?

Meine Ideen:
Ich habe anfangs an das Sandwichkriterium gedacht doch damit würde ich nicht weit kommen.
Was wäre hier am sinnvollsten
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von e
Zitat:
Original von Martin321
...
xn:= (1+1/n)^n und yn:= (1+1/n)^n+1 Konvergieren undzwar gegen den selben Grenzwert ?
...

Das tun sie (mit deiner Schreibweise) NICHT!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wart' jetzt nicht auf deine Korrektur, denn ich will schlafen gehen.
----------



mY+
Martin321 Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich jetzt nicht. So ist die Aufgabenstellung:

Xn ist definiert als die Folge= (1+1/n)^n
Yn ist definiert als die Folge = (1+1/n)^n+1

Und ich soll zeigen das diese Konvegierwn gegen den selben Grenzwert :/
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

mYthos wollte dich auf die fehlenden Klammern hinweisen:

(1+1/n)^n+1 =

Gemeint ist aber sicherlich (1+1/n)^(n+1) =

Wenn du Latex verwendest, treten solche Missverständnisse nicht auf (dafür gibt es den Formeleditor). smile
Martin321 Auf diesen Beitrag antworten »

Achsoo Freude

Hast du eine Idee wie ich das machen könnte ?
 
 
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

mYthos hat dir doch schon einen Tipp gegeben:
Zitat:
Original von mYthos


Irgendeine Idee, wie dir das weiterhelfen könnte?
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

lim a_n * b_n = ...
Matt Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
mYthos hat dir doch schon einen Tipp gegeben:
Zitat:
Original von mYthos


Irgendeine Idee, wie dir das weiterhelfen könnte?


Diese Überlegung hilft aber nur, wenn die Konvergenz von bereits gezeigt ist.
Aber genau das ist ja gerade Teil der Aufgabenstellung!


Ich würde hier eher versuchen folgendes zu zeigen:

1. ist monoton wachsend

2. ist monoton fallend

3.

Daraus ( also aus 1., 2. und 3.) kannst Du dann die Behauptung der Aufgabenstellung folgern.
Martin321 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also ich werde das jetzt versuchen aber was ich nicht verstehe ist der schritt 3. was zeige ich denn da ?
Ich hätte die Monotonie gezeigt und dann miss ich doch zeigen das die folge beschränkt ist damit die konvergent ist.
Warum kann ich dann nachdem 3ten schritt folgern das die Folgen gegen den selben Grenzwerr Konvegierwn
Martin321 Auf diesen Beitrag antworten »

Also :

Monoton steigend da:









Aus der Bernouli Ungleichung gilt :

Wähle x:= 1+ 1/(n+1)^2




Jetzt ist nur noch zu zeigen das :



bzw:



das gilt wegen :





deshalb Monoton Steigend und sogar streng Monoton Steigend
Matt Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

Zusammen mit 1. und 2. folgt aus 3. doch, dass



Monotonie und Beschränktheit implizieren dann jeweils die Konvergenz von und .

Die Gleichheit der Grenzwerte ist schließlich nur noch eine Konsequenz der Grenzwertsätze.
Martin321 Auf diesen Beitrag antworten »

Und Monoton fallend gilt da :











Wieder an der stelle Bernouli:

Wähle x= 1/n(n+2)




ALso ist nur noch zu zeigen das :

bzw.




und dies gilt siehe andere AUfgabe.




so und jetzt hätte ich die Monotonie gezeigt damit wir zeigen das es Konvergent ist benutzen wir noch die Beschränktheit aber wie denn das ? und warum heißt das dann das der Grenzwert der selbe ist?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Martin321


Leider ist diese Gleichung falsch, wie man durch Einsetzen von n=1 auch leicht feststellen kann. Augenzwinkern
Martin321 Auf diesen Beitrag antworten »

jaa das muss heißen 1- 1/(n+1)^2 danke !


Aber kann ich wenn da eine - steht die Bernouli ungleichung anwenden ?
Matt Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

Das hier

Zitat:
Original von Martin321



stimmt nicht.

Grundsätzlich ist die Idee mit der Bernoulli-Ungl. aber gar nicht so verkehrt.


Zeige zunächst mit Bernoulli, dass



und folgere daraus, dass


Zeige dann umgekehrt (abermals mit Bernoulli), dass



und folgere daraus, dass
Martin321 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es doch bereits gemacht warum soll ich denn wieder ganz von vorne beginnen ?

und wie gesagt anstatt ein + muss da eine - kommen dann stimmt die gleichung also :




stimmt den jetzt alles was mit Monotonie zu tun hat und können wir zum schritt 3 gehen ?
denn diesen verstehe ich nicht verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Martin321
jaa das muss heißen 1- 1/(n+1)^2 danke !


Aber kann ich wenn da eine - steht die Bernouli ungleichung anwenden ?

Ja, die Bernoulli-Ungleichung gilt auch für x >= -1 . smile
Martin321 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke ist also bis jetzt alles richtig ? Ich habe gezeigt das die folge Monoton steigend ist und die andere Folge Monoton fallend was soll ich jetzt tun ? Wie soll ich die Beschränktheit zeigen bzw. wie zeige ich nun das diese Folgen den selben Grenzwert haben ?
Matt Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Martin321
Ok danke ist also bis jetzt alles richtig ? Ich habe gezeigt das die folge Monoton steigend ist und die andere Folge Monoton fallend was soll ich jetzt tun ? Wie soll ich die Beschränktheit zeigen bzw. wie zeige ich nun das diese Folgen den selben Grenzwert haben ?


Das steht in meinem Beitrag von 09:35h heute.
Martin321 Auf diesen Beitrag antworten »

Also reicht es aus zu sagen das :


an beschränkt ist durch :


an < b1 =


und


bn > a1 =

also ist an und bn beschränkt deshalb konvegrieren diese aber warum haben dann diese Folgen den selben Grenzwert ?

und wie bist du drauf gekommen das an < b1 ist ? an ist Monoton steigen woher weiß du das die Folge kleiner als b1 ist ? bn ist Monoton fallend woher weiß du das bn > a1 ist ? vllt wird bn irgendwann < a1 da bn ja monoton fallend ist :/

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)
Matt Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

Es wurde bereits alles, teilweise sogar mehrfach, gesagt. unglücklich

Zitat:
Original von Martin321
warum haben dann diese Folgen den selben Grenzwert ?


Wende auf die Grenzwertsätze an!


Zitat:
Original von Martin321
und wie bist du drauf gekommen das an < b1 ist ? an ist Monoton steigen woher weiß du das die Folge kleiner als b1 ist ? bn ist Monoton fallend woher weiß du das bn > a1 ist ? vllt wird bn irgendwann < a1 da bn ja monoton fallend ist :/


Wenn monoton wächst (sihe 1.) und monoton fällt (siehe 2.) und zudem (siehe 3.) dann ist doch offensichtlich die Folge durch das größte Element der Folge (und das ist gerade ) nach oben beschränkt.

Analog ist durch das kleinste Element der Folge (nämlich ) nach unten beschränkt.

Vielleicht versuchst Du mal diese Aussagen formal zu beweisen, wenn sie Dir offenbar nicht klar sind.
Martin321 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leute ich bin es nochmal. Ich habe noch eine Frage , da ich sehr verwirrt bin.

Also in der Aufgabe sollten wir zeigen das Xn STRENG Monoton Steigend ist.
Die Tutorin bekommt Musterlösungen vom Professor und da wird gezeigt das es Monoton steigend ist. (Siehe Bild)
Ich habe hier in Matheboard gezeigt das die Folge Streng Monoton Steigend ist. ( was eigentlich klar ist wenn man die Folgenglieder betrachtet).
Ich frage mich nun was ist richtig ? Allein das der Professor schreibt zz Streng Monoton steigend und selber zeigt das es Monoton Steigend ist finde ich Komisch, da er selber auf jede Kleinigkeit achtet.
Was ist nun falsch was ist nun richtig ? smile
Matt Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist hier unnötig an dieser Stelle Haarspalterei zu betreiben.

Um im Sinne der Aufgabenstellung argumentieren zu können reicht jeweils die Monotonie von und , denn Monotonie und Beschränktheit implizieren Konvergenz und um die geht es ja.

Strenge Monotonie ist ist für diese Implikation nicht erforderlich.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt so weit alles.
Ich denke, dass wir hier die strikte Bernoulli-Ungleichung verwenden sollten, also jene nur mit der "Größer-Relation"

Zitat:

Ebenfalls als bernoullische Ungleichung wird folgende Ungleichung bezeichnet, die ein „strikt größer“ statt eines „größer gleich“ verwendet:

Für alle reellen Zahlen und alle natürlichen Zahlen gilt



Der Beweis lässt sich ebenfalls mit Induktion nach dem gleichen Muster wie der Beweis für die Formulierung mit „größer gleich“ durchführen.


Und damit ist das "Vaterland gerettet", die Folge ist tatsächlich streng monoton.

mY+
Martin321 Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos: Also das was du sagst kann ich gerade nicht so nachvollziehen.

Damit eine Folge Streng Monoton steigend ist muss ja gelten an+1 > an

aber in der Musterlösung wurde an+1 >= an gezeigt.


Und ist meine Aufgabe nun falsch wie ich die Monotonie gezeigt habe ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht um deine letzte Grafik.
Dort kommst du (richtig) auf " .. = 1".

Mit der strikten Bernoulli-Ungleichung kommt man daher auf " .. > 1" und das ist es doch hinsichtlich der strengen Monotonie, was du zeigen wolltest.

mY+
Martin321 Auf diesen Beitrag antworten »

Das in der Grafik ist die Musterlösung. Schau dir mal in der 1. Seite an wie ich es gemacht habe- Stimmt das wie ich es gemacht habe ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja vordem einiges geschrieben und es sind dort auch ein paar (Schreib-?)Fehler drin.
Das solltest du mal sauber machen ...
Im Prinzip dürfte das aber auch richtig sein.
Martin321 Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit schreibfehler ? verwirrt
Ich meine jetzt die Monotonie
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Martin321
Also :

Monoton steigend da:




...

Ganz rechts in der unteren Zeile passt es doch nicht mehr ...
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