Äquivalenzrelation, deren Ä-Klassen Nebengruppen sind

23.11.2016, 13:20	group-n	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation, deren Ä-Klassen Nebengruppen sind Meine Frage: Hallo erst mal ich soll folgende Aufgabe bearbeiten: Sei (G , °) eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Überlegen Sie sich eine Äquivalenzrelation auf der Menge G, bei der die dazugehörigen Äquivalenzklassen genau die Nebenklassen von U in G sind. Ich habe dazu einfach keine Ahnung. Ich weiß nicht mal genau, was im Allgemeinen gelten soll. Wäre super, wenn ihr mir helfen könntet. Meine Ideen: Die einzige Idee, die ich bisher hatte, ist folgende: Sei a,b,g aus G, g sei fest und u,w aus U, dann soll (a,b) in der Relation sein, wenn (a°g)°(b^-1 °g) in U ist. Ich habe aber wirklich keine Ahnung, was das sein soll. Das hab ich nur hingeschrieben, weil es mich an Normalteiler erinnert hat. LG
23.11.2016, 14:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast richtig, du kannst auf das $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ verzichten. Wie kommt man auf die Idee ? Ganz einfach am Beispiel der Kongruenzrelation in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ orientieren: $\begin{eqnarray} a\equiv b\;mod\; m\Leftrightarrow m\|(a-b) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \mathbb Z/m\mathbb Z \end{eqnarray}$ ist eine additive Gruppe, $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ liegen in der gleichen Nebenklasse, wenn ihre Differenz in der Untergruppe $\begin{eqnarray} m\mathbb Z<\mathbb Z \end{eqnarray}$ liegt. Funktioniert genau so für Vektorräume $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und Untervektorräume $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ . Nebenklassen sind $\begin{eqnarray} x+U \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in V \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ äquivalent $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} x-y \in U \end{eqnarray}$ . Multiplikativ nimmt man eben den Quotienten $\begin{eqnarray} ab^{-1} \end{eqnarray}$ statt der Differenz $\begin{eqnarray} a-b \end{eqnarray}$ , und die Nebenklassen sind $\begin{eqnarray} a\cdot U \end{eqnarray}$ .
23.11.2016, 14:40	group-n	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke elvis ich les mir das jetzt noch 10 mal durch und danach google ich mal alle begriffe aber freut mich, dass meine idee irgendwie teilweise stimmt und du so schnell geantwortet hast lg

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